∫x/x^2+x+1dx この問題わかる方教えてください

∫x/x^2+x+1dx
この問題わかる方教えてください

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/17 20:24

#3は、内容はともかく、ツマラン編集ミスをやらかしている。

> Bは分母の平方完成を使って
> 　　x^2 + x + 1 = (3/4)t^2 + 1
> なので、
> 　　 t = (2x + 1)/√3
> として

いや、ここは

Bは分母を平方完成するために
　　 t = (2x + 1)/√3
とおけば
　　dt/dx = 2/√3
　　x^2 + x + 1 = (3/4)(t^2 + 1)
なので、

とでも書くのが適切だったっす。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/17 13:37

微分してみたら、No.3 のほうがあってるねえ。

私の回答には、よくあることだが...
No.2 は、そもそも部分分数分解にミスがあった。
x/(x^2+x+1) = (1/6)(3 + i√3)/(x - (-1+i√3)/2)
　　　　　　　+ (1/6)(3 - i√3)/(x - (-1-i√3)/2).
ここを修正すると、
あとは同じ計算で No.2 の結果になる。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/16 21:59

あらら。

では#1もやってみよう。
　　∫(x/(x^2 + x + 1))dx = A/2 - B/2
ここに
　　A = ∫((2x + 1)/(x^2 + x + 1)) dx
　　B = ∫(1/(x^2 + x + 1)) dx

Aは分母まるごと
　　s = x^2 + x + 1
として
　　A = ∫(1/s)ds = log(s) + C₁ = log(x^2 + x + 1) + C₁
Bは分母の平方完成を使って
　　x^2 + x + 1 = (3/4)t^2 + 1
なので、
　　 t = (2x + 1)/√3
として
　　B = (2/√3)∫(1/(t^2 + 1)dt = (2/√3)arctan(t) + C₂
　　　= (2/√3)arctan((2x + 1)/√3) + C₂
だから
　　∫(x/(x^2 + x + 1))dx
　　　= (1/2)log(x^2 + x + 1) - (1/√3)arctan((2x + 1)/√3) + C
ありゃ、#2と微妙に違うか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/16 14:41

ふつーに部分分数分解すれば？

x/(x^2+x+1) = (1/12)(3 + i√3)/(x - (-1+i√3)/2)
　　　　　　　+ (1/12)(3 - i√3)/(x - (-1-i√3)/2)
より
∫{ x/(x^2+x+1) }dx = (1/12)(3 + i√3)∫dx/(x - (-1+i√3)/2)
　　　　　　　　　　+ (1/12)(3 - i√3)∫dx/(x - (-1-i√3)/2)
　　　　　　　　　= (1/12)(3 + i√3) log(x - (-1+i√3)/2)
　　　　　　　　　　+ (1/12)(3 - i√3) log(x - (-1-i√3)/2)
　　　　　　　　　　+ C
　　　　　　　　　= (1/4) log{ (x - (-1+i√3)/2)・(x - (-1-i√3)/2) }
　　　　　　　　　　+ (i√3/12) log{ (x - (-1+i√3)/2)/(x - (-1-i√3)/2) }
　　　　　　　　　　+ C
　　　　　　　　　= (1/4) log(x^2+x+1)
　　　　　　　　　　+ (√3/6) arctan( (2x+1)/√3 )
　　　　　　　　　　+ C.
　　　　　　　　　　　　(Cは定数)

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/06/16 12:27

∫(x/(x^2 + x + 1))dx

かしらん。
　分母まるごとをsとすれば ds/dx = 2x + 1 だから分子のxは処理できるね、というわけで被積分関数を
　　(1/2)(2x + 1)/(x^2 + x + 1) - (1/2)/(x^2 + x + 1)
と分けてそれぞれ積分すると、第2項は分母を a(t^2 + 1) の形にすればOK。