場合の数、確率 25 整数整数解の個数

本題

(1) は、仕切り(│)でいける
(2) は、普通には(1)のようにはいかぬ
(3) は、場合分け？

只今、試行錯誤中

識者の方のアプローチも教えて下さい

以下問題
_________________________________

https://imgur.com/a/t4SXGUx

____________________

質問者からの補足コメント

• 

  本題
  
  (2),(3)
  はスマートな解き方(参考で記した)ががあるが、他に応用できる考え方でない
  (4) は、不等式を等式に変形
  x<y なら, ｘの不足分y-x=w を左辺に付け加える事で等式なる.x+w=y
  後は、重複組合せの公式を使った
  
  以下答案
  ____________________________________
  
  
  https://imgur.com/a/JvOTTWy
  
  
  _________________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/07/05 14:28

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/05 08:01

(1) は仕切りで行ける。

(10+2)C2 = 66 個。
(4) は、x+y+z+w=10 と同じ問題だから、
　これも仕切りで行ける。(10+3)C3 = 286 個。
(2) で x=y+a, y=z+b と置くと、a+2b+3z=10 (a≧0,ｂ≧0) になる。
　これは(3)と同じ問題。
(3) は、和の 10 が小さいから、樹形図で数え上げてしまおうか。
　(和が大きければ、漸化式でも立てるが)
　(z,y,x) = (3,0,1),
　　　　　(2,2,0), (2,1,2), (2,0,4),
　　　　　(1,3,1), (1,2,3), (1,1,5), (1,0,7),
　　　　　(0,5,0), (0,4,2), (0,3,4), (0,2,6), (0,1,8), (0,0,10).
　14個あった。

この回答へのお礼

学者さんこんにちは

ご回答ありがとうございます

以下答案

(2),(3)
はスマートな解き方(参考で記した)ががあるが、他に応用できる考え方でない
(4) は、不等式を等式に変形
x<y なら, ｘの不足分y-x=w を左辺に付け加える事で等式なる.x+w=y
後は、重複組合せの公式を使った

以下答案
____________________________________


https://imgur.com/a/JvOTTWy


_________________________

from minamino

お礼日時：2023/07/05 14:32

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/05 14:36

例によっていつもの、問題魚拓。

------------------------------------------------------------------------------------
それぞれの条件を満たす0または正の整数x,y,zの組の個数を求めよ。
(1) x+y+z=10
(2) x+y+z=10 (x≧y≧z)
(3) x+2y+3z=10
(4) x+y+z≦10
------------------------------------------------------------------------------------

補足(07/05 14:28)の答案は、要するに No.4 と同じだねえ...

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/05 05:54

(1)

12C10
=12*11/2
=
66
個

(2)
10,0,0
9,1,0
8,2,0
8,1,1
7,3,0
7,2,1
6,4,0
6,3,1
6,2,2
5,5,0
5,4,1
5,3,2
4,4,2
4,3,3

14
個

(3)
10,0,0
8,1,0
7,0,1
6,2,0
5,1,1
4,3,0
4,0,2
3,2,1
2,4,0
2,1,2
1,3,1
1,0,3
0,5,0
0,2,2

14
個

(4)
12C10=66
11C9=11*10/2=55
10C8=10*9/2=45
9C7=9*8/2=36
8C6=8*7/2=28
7C5=7*6/2=21
6C4=6*5/2=15
5C3=5*4/2=10
4C2=4*3/2=6
3C1=3
2C0=1

66+55+45+36+28+21+15+10+6+3+1
=
286
個

この回答へのお礼

教授こんにちは。

ご回答ありがとうございます’’

(2),(3)
はスマートな解き方(参考で記した)ががあるが、他に応用できる考え方でない
(4) は、不等式を等式に変形
x<y なら, ｘの不足分y-x=w を左辺に付け加える事で等式なる.x+w=y
後は、重複組合せの公式を使った

以下答案
____________________________________


https://imgur.com/a/JvOTTWy


_________________________

from minamino

お礼日時：2023/07/05 14:33

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/05 01:51

ちょっとだけ補足.

(2) と (3) は本質的に同じだからどっちからどっちへも導ける. どっちでもいいから好きな方 (あるいは嫌いな方) をやれ. あるいは地道に数えろ.

(4) もいくつか方針は考えられるなぁ. (1) ができればただの足し算だともいえるし, がんばって足し算してもいいし.

この回答へのお礼

(2),(3)
はスマートな解き方(参考で記した)ががあるが、他に応用できる考え方でない
(4) は、不等式を等式に変形
x<y なら, ｘの不足分y-x=w を左辺に付け加える事で等式なる.x+w=y
後は、重複組合せの公式を使った

以下答案
____________________________________


https://imgur.com/a/JvOTTWy


_________________________

from minamino

お礼日時：2023/07/05 14:34

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/07/04 20:14

(3) は (2) のバリエーションだねぇ.