(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 (aは定数) の式ではaによらず2直線x+2y-1=0、2

(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 (aは定数)
の式ではaによらず2直線x+2y-1=0、2x-y+3=0の交点を通る、というのはどういった根拠から言えるのでしょうか？

2直線がどちらも0のときのみ左辺は0になれるということなのでしょうが、aの値によっては2直線が0以外の場合でも上手く打ち消しあって左辺が0になりそうな気もします。

まあそうならないんでしょうが、そう言える根拠がいまいちわかりません。

私が考えたのは、2直線の係数の比(？)が1:2:-1と2:-1:3で違うので、どんな定数をかけても結局比は変わらず、いつまでも噛み合わない、という感じかと思いました。

実際はどうなのでしょうか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/06 23:45

＞ (x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 (aは定数)

＞ の式ではaによらず2直線x+2y-1=0、2x-y+3=0の交点を通る、というのはどうい＞ った根拠から言えるのでしょうか？

だってそりゃ、x+2y-1=0 と 2x-y+3=0 が両方成り立つ (x,y) に対しては
(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0+a・0=0 が成り立つからね。
x+2y-1=0 と 2x-y+3=0 の交点は、式 (x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 を満たしている。

＞ 2直線がどちらも0のときのみ左辺は0になれるということなのでしょうが、

違う。
x+2y-1 と 2x-y+3 がどちらも 0 であれば
その場合には (x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 だってことで、
x+2y-1 と 2x-y+3 がどちらも 0 のとき「のみ」
(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 になるなんて誰も言ってない。
実際、例えば x+2y-1=a と 2x-y+3=-1 のとき
(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 は成り立つ。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/07/06 14:56

恒等式の考えで

(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 (aは定数)と
2直線x+2y-1=0、2x-y+3=0　aはどんな実数でも成り立つ
は必要十分条件と思いますが？
貴方のは必要十分条件と言えないのではと思いますが！
　また　文字式に拘らず複素数や無理数も同じ考えで
y=a+b i
y=a+b・(無理数)
で　a=b=0 として解いてきたと思うのですが！参考に

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/07/06 14:21

x+2y-1=A, 2x-y+3=B とすると、

A+aB=0 となりますね。
あなたが言う様に a が特定の値ならば A, B は 0でなくても 成り立ちます。
しかし 問題は 「a の値によらず」ですから、
A=0, B=0 でないと 成り立ちません。

x+2y-1=0 これを 移項して 見慣れた直線の式にすると、
y=-(1/2)x+(1/2) となりますね。
2x-y+3=0 は y=2x+3 ですね。
実際に グラフを書けば分かると思いますが、
上は 右下がりの直線で、下は 右上がりの直線になります。
従って 必ず 何処かで 交わります。噛み合わないことは 絶対ありません。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/07/06 14:01

「直線 x+2y-1=0」「直線2x-y+3=0」というのは、それぞれ点の集合

　　P = {(x,y) | x+2y-1=0}
　　Q = {(x,y) | 2x-y+3=0}
のことです。たとえば、「直線Pが点(1,0)を通る」というのは
　　(1,0) ∈ P
ということに他なりません。
　また、「2直線x+2y-1=0、2x-y+3=0の交点」とは P∩Q のこと。
　　P∩Q ＝ {(x,y) | x+2y-1=0}∩{(x,y) | 2x-y+3=0}
　　　　= {(x,y) | x+2y-1=0 ∧ 2x-y+3=0}
この場合には P∩Qはただ一つの点から成る集合です。（具体的には
　　P∩Q = {(-1,1)}
ですが、これは、ま、どうでもよろしい。）

　さて、「直線(x+2y-1)+a(2x-y+3)=0 」は
　　L(a) = {(x,y) | (x+2y-1)+a(2x-y+3)=0}
という集合ですが、ただしL(a)はaの値によってそれぞれ異なる集合です。
　で、L(a)が「aによらず2直線x+2y-1=0、2x-y+3=0の交点を通る」というのはどういう意味か。これは曖昧な文言でして、「交点を通る」という部分が「すべての交点を通る」という意味なら
　　∀a ((P∩Q) ⊂ L(a)) …(1)
だし、「少なくとも一つの交点を通る」という意味なら
　　∀a ((P∩Q) ∩ L(a) ≠ ∅) …(2)
ということ。しかしこの場合にはタマタマP∩Qがただ一つの点から成る集合ですから、(1)(2)のどっちでも同じことになります。（なので「交点を通る」という曖昧でケシカラン表現がタマタマ通用してしまうわけです。）

　さて、(1)を言い換えれば、
　　∀a ∀(x,y) ( (x,y)∈P∩Q ⇒ (x,y)∈L(a) ) …(1')
ということです。これをさらに書き換えると
　　∀(x,y) ( (x,y)∈P∩Q ⇒ ∀a((x,y)∈L(a)) ) …(1'')
これを証明したい。

証明：
　(x,y)∈P∩Q である(x,y)はどれでも（と言っても1個しかないのだけれども）
　　x+2y-1=0 ∧ 2x-y+3=0
を満たす。だから、(x,y)∈P∩Q である(x,y)はどんなaについても
　　(x+2y-1) + a(2x-y+3) = 0 + 0a = 0
である。なので、
　　(x,y)∈P∩Q ⇒ ∀a((x,y)∈L(a))
である。というわけで(1)が成り立つ。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/06 13:12

＞aの値によっては2直線が0以外の場合でも上手く打ち消しあって左辺が0になりそうな気もします。

「任意の a に対して成り立つ」ということです。
つまり、特定の直線ではなく「2直線x+2y-1=0、2x-y+3=0の交点を通る任意の直線」を表しているのです。

従って「交点以外の (x, y) を通る」という別条件が決まれば、a の値が確定します。


ただし、教科書にも載っていると思いますが、その式では「2x - y + 3 = 0」自身の式は表せないことに注意が必要です。
（任意の a に対して a(2x - y + 3) = 0 となってしまうため）