写真の数学の質問です。 なぜ、１次独立であると、係数を比較できるのですか？

写真の数学の質問です。

なぜ、１次独立であると、係数を比較できるのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/07 09:02

→a, →b が一次独立とは、

A(→a)+B(→b)=→0 (A,Bはスカラー)であれば A=B=0
であることを言う。
これが「一次独立」の定義だった。
並行でない...とかいうのは、そのことに対する
図形的な印象でしかない。

上記の定義に従えば、
→OR = (1-s)(→a)+s(→b) = (3/2)(1-t)(→a)+(3/2)t(→b)
であるとき、移項して
{ (1-s) - (3/2)(1-t) }(→a)+{ s - (3/2)t }(→b) = →0 だから、
→a, →b の一次独立から (1-s) - (3/2)(1-t) = s - (3/2)t = 0.
それは (1-s) = (3/2)(1-t), s = (3/2)t とも書ける。
係数比較とは、そういうこと。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/07 08:56

面倒なので、ベクトルが2個の場合で説明します。

一次独立なベクトル a, b が有り、任意のベクトルを x とすると
x = c1a+c2b (c1, c2は係数　スカラー)で表される場合、
c1, c2 はあるx に対して一通りしかない
が証明できれば、係数比較ができることになります。

xに対してc1, c2 とは別の定数の組 c1', c2' が存在するとすると
x = c1a+c2b=c1'a+c2'b (c1', c2'もスカラー)

変形して
(c1-c1')a + (c2-c2')b=0

一次独立の定義から、
(c1-c1') = (c2-c2')= 0
なので
c1=c1'、c2=c2'
つまり、c1, c2 は一組しかありません。

ベクトルが3個以上でも同様。