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写真は、楕円の方程式の導出が書かれたものですが、
赤線部で、「b>0とすると」と書かれていて黄線部には「a>b>0」と書かれています。このことについて質問なのですが、なぜ、赤線部で仮定したb>0という式がそのまま楕円の公式(黄線部)に反映されるのですか?この「a>b>0」というのは導出のときに「b>0」と仮定したものをa,bをまとめて表していると思いますが、仮にb<0としても写真と同様に式を導くことができると思います。しかしそのときは「a<b<0」という条件は成り立たないですよね?(b<0とおいたため)
つまり「a>b>0」のb>0という条件は最初にb>0とおいて示したときのものだから一概にb>0というように言えないのでは?ということです。a>0というのはaは距離、すなわち絶対値だからa>0になるのだろうということはわかります。

写真のURLです。
https://dotup.org/uploda/dotup.org3025899.jpg_fZ …

質問者からの補足コメント

  • ありがとうございます。
    bは距離であるからb>0ということですね
    理解できました

      補足日時:2023/08/10 13:29

A 回答 (6件)

一番下の断片において:


右のグラフを
  x軸上の目盛 a, -a >>> |a|, -|a|
  y軸上の目盛 b, -b >>> |b|, -|b|
そして文中では
  a>b>0のとき >>> |a|>|b|>0のとき
  長軸の長さは2a >>> 長軸の長さは2|a|
  短軸の長さは2b >>> 短軸の長さは2|b|
  距離の和は2a >>> 距離の和は2|a|
と手直しして読めばとりあえずOK。あるいは
  a>b>0のとき >>> |a|>0かつ|b|>0のとき
  長軸の長さは2a >>> 長軸の長さは2|a|と2|b|の大きい方
  短軸の長さは2b >>> 短軸の長さは2|a|と2|b|の小さい方
  距離の和は2a >>> 距離の和は長軸の長さ
と直すと余計な条件が削れる。

で、真ん中の断片において:
  このときのPのy座標をb(b>0) >>> このときのPのy座標をb(b≠0)
となっていれば辻褄が合うわけですが、そのためには②式を導く直前に「|a| ≠ |c| のとき」という条件が必要になる。すなわち、場合分けして
  |a| = |c|のとき : y = 0 (すなわちx軸全体)
という解も出して、これはこれで評価しておかなくちゃいけない。その評価がどうなるかは、問題文が書いてないからわからんですが。(案外、問題文から明らかにb>0, |a| ≠ |c|でなくちゃならん、ということなのかも知れんし。)
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aとbは楕円の形を表すパラメータで


長半径、短半径
と呼ばれるものです。
これはその名の通り中心からの「距離」なので a>0, b>0
とします。
説明のP点がx軸の下側なら -b を使うだけです。
b < 0 として話を始めることも可能ですが
めんどくさくなるだけなのでそんなことはしません。

因みに a>b でないと、焦点A,Bはx軸上に現れません。
つまり、焦点が x軸上に2個あるなら a > b になります。
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短軸の長さは


2b
だから
長さは
b>0
でなければならないから

楕円
x^2/a^2+y^2/(a^2-c^2)=1

y軸(x=0)の交点を(0,y)とすると

y^2/(a^2-c^2)=1

y^2=(a^2-c^2)

y=±√(a^2-c^2)

だから

b=√(a^2-c^2)

と定めるのです
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解説をみると第1,2象限の場合の説明として「a>b>0」とおいているように


思います。
第3,4象限の場合は「a<b<0」になりますが 式②が全て2乗なので
この場合は考える必要もなく「a>b>0」の場合かんがえればいいからと思います。
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b<0 と「しなければならない」理由ってなに?

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座標上の距離として考えているのでは。


b<0 でも b²>0 ですから、同じことですよね。
座標ならば a<b<0 と 0<b<a は 同じことでしょ。
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