数学 y＝f(x)＝3x^2−12x＋9の関数グラフにおいて f(x)とx軸で囲まれる 0≦x≦1の

数学

y＝f(x)＝3x^2−12x＋9の関数グラフにおいて

f(x)とx軸で囲まれる

0≦x≦1の面積と

1≦x≦3の面積が

同じことを瞬時に見抜くことはできますでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/14 20:58

f(x) = 3x^2 - 12x + 9

　　= 3(x - 2)^2 - 3

ですから、
　y = f(x)
の放物線の軸は
　x = 2
であることが分かります。

また、
　f(x) = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)
ですから、
　y = f(x)
の x 軸等の交点は
　(1, 0), (3, 0)
であることも分かります。

従って、例えば
　0≦x≦1 と 3≦x≦4
とか
　1≦x≦2 と 2≦x≦3
の面積が等しいことはすぐに分かります。

ただし、対称性とは関係ない
　0≦x≦1 と 1≦x≦3
の面積が同じになるかどうかなど、「やってみなけりゃ分からない」ですよ。

普通なら「瞬時に見抜く」のは至難の技でしょう。
そんな直観に頼ることは大失敗のもとになります。

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/08/14 19:53

まず、0≦x≦1 の領域の面積を求めます。

これは定積分を用いて次のように表されます：

\[ \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (3x^2 - 12x + 9) \, dx \]

計算すると、

\[ \left[ x^3 - 6x^2 + 9x \right]_{0}^{1} = (1 - 6 + 9) - (0 - 0 + 0) = 4 \]

次に、1≦x≦3 の領域の面積を求めます。これも同様に定積分を用いて表されます：

\[ \int_{1}^{3} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} (3x^2 - 12x + 9) \, dx \]

計算すると、

\[ \left[ x^3 - 6x^2 + 9x \right]_{1}^{3} = (27 - 54 + 27) - (1 - 6 + 9) = 4 \]

したがって、0≦x≦1 の領域と 1≦x≦3 の領域の面積が同じことが示されました。