![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
三角形ABC 内に1点 P をとり,AP,BP,CP と辺BC,CA,AB との交点をそれぞれ D,E.F とする.
BC=a,CA=b,AB=cとする。
AE=bx (0<x<1), AF=cy (0<y<1) とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) BD,CD の長さを求めよ.
(答)BD=ax(1-y)/{x(1-y)+y(1-x)} , CD=ay(1-x)/{x(1-y)+y(1-x)}
(2) △DEF の面積 K を求めよ.ただし,△ABC の面積を S とする.
(答)K=2Sxy(1-x)(1-y)/{x(1-y)+y(1-x)}
(3) K の最大値を与える x,y の値を求めよ.また,このとき点P はどんな点か.
(答)K≦S/4, x=y=1/2 (等号は点Pが△ABCの重心のとき)
この問題の(1)(2)は地道な計算と思いますが、(3)はどうやればいいのでしょうか?
![「△ABCの辺上の点を結んで出来る三角形の」の質問画像](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/8/988063_5497bcd227f49/M.jpg)
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
K=2Sxy(1-x)(1-y)/{x(1-y)+y(1-x)} の最大値を求めるには、
{x(1-y)+y(1-x)}/{2xy(1-x)(1-y)} の最小値を求めればいい。
{x(1-y)+y(1-x)}/{2xy(1-x)(1-y)}={1/{y(1-x)}+1/{x(1-y)}}/2
として相加相乗平均の関係と、xy(1-x)(1-y)の最大値を調べれば、
{x(1-y)+y(1-x)}/{2xy(1-x)(1-y)}≧4
を導き出すことができる。
ありがとうございます。
相加相乗平均の関係を2回使うことで示すことが出来ました。
相加相乗平均の関係は通常は1回使って定数と比較するので、2回使うことは驚きでした。
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