群準同型の個数の再質問

こちらの質問のご回答に不明点があったので再質問させて下さい。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13569669.html

【No.2の回答の方】
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逆に n が偶数であれば、
(Z/nZ)/Ker g は Z/nZ の位数 2 の部分群となる。
そのようなものは、{ 0, n/2 } ただひとつである。

以上より、
n が奇数のとき g は 0 個、
n が偶数のとき g は 1 個。
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①(Z/nZ)/Ker g は Z/nZ の位数 2 の部分群となるの部分がよく分かりませんでした。
②nが偶数のときgが1個とありますが、準同型gを実際に構成出来ることをどのように示せばよいのでしょうか？
解説いただだければ幸いです。

【No.1の回答の方】
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nが奇数のとき
Imgの元の個数は奇数で偶数2個にならないから0個

nが偶数のとき
x=0(mod2)のときg(x)=0
x=1(mod2)のときg(x)=4
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①xが奇数のとき、Imgの元の個数は奇数で偶数2個にならないから0個、という論理がよく分かりませんでした。(gは単射とは言えないのでは）
②xが偶数のとき準同型gはその形になるというのは、どうやって示されるのでしょうか？
解説いただだければ幸いです。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/11 04:46

nが奇数ならば

n=2m+1

となるmがある

0=n=2m+1(mod n)
だから

0=g(0)=g(n)=g(2m+1)=g(2m)+g(1)=g(1)

g(1)=0
となって
すべてのkに対して
g(k)=kg(1)=0となるから
Img={0}
となって
Img={0,4}に矛盾するから

nは偶数でなければならない

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/10 05:26

g(k)=0ではありません

g(2k)=0
です
g(2k)=g(k+k)
gは準同型だから
g(k+k)=g(k)+g(k)
Img={0,4}だから
g(k)=0またはg(k)=4
g(k)=0のとき
g(k)+g(k)=0
だから
g(2k)=0
g(k)=4のとき
g(k)+g(k)=4+4=0mod8
だから
g(2k)=0
となるのです
任意のa,bに対して
g(a+b)=g(a)+g(b)となるときgを準同型というのです
a=0mod2,b=0mod2のとき
a+b=0mod2
g(a+b)=0
g(a)=0
g(b)=0
だから
g(a+b)=0=0+0=g(a)+g(b)

a=0mod2,b=1mod2のとき
a+b=1mod2
g(a+b)=4
g(a)=0
g(b)=4
だから
g(a+b)=4=0+4=g(a)+g(b)

a=1mod2,b=0mod2のとき
a+b=1mod2
g(a+b)=4
g(a)=4
g(b)=0
だから
g(a+b)=4=4+0=g(a)+g(b)

a=1mod2,b=1mod2のとき
a+b=0mod2
g(a+b)=0
g(a)=4
g(b)=4
だから
g(a+b)=0=4+4=g(a)+g(b)(mod8)
だから
g(a+b)=g(a)+g(b)となるからgは準同型

Img={0,4}だから
g(k)=0またはg(k)=4

g(k)=0のとき
g(k)+g(k)=0
gは準同型だから
g(k+k)=g(k)+g(k)
↓g(k+k)=g(2k),g(k)+g(k)=0だから
g(2k)=0

g(k)=4のとき
g(k)+g(k)=4+4=0mod8
gは準同型だから
g(k+k)=g(k)+g(k)
↓g(k+k)=g(2k),g(k)+g(k)=0だから
g(2k)=0
だから
すべてのkに対して
g(2k)=0
となるから

x=0mod2 のとき
x=2k となるkがあるから
g(x)=g(2k)=0

Img={0,4}だから
g(x)=4 となるxが存在する
x=0mod2と仮定すると
g(x)=0となって
g(x)=4に矛盾するから
x=1mod2
だから
x=2k+1
となるkがある
g(x)=g(2k+1)
↓gは準同型だから
g(2k+1)=g(2k)+g(1)
↓g(x)=g(2k+1),g(2k)=0だから
g(x)=g(1)
↓g(x)=4だから
g(1)=4

x=1mod2 となる任意のxに対して
x=2k+1 となるkがある
g(x)=g(2k+1)
↓gは準同型だから
g(2k+1)=g(2k)+g(1)
↓g(x)=g(2k+1),g(2k)=0だから
g(x)=g(1)
↓g(1)=4だから
g(x)=4

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。
回答ありがとうございます。
先のお礼で書いたg(k)=0はg(2k)=0のタイプミスでした。申し訳ありません。
今回の解説を見る限り、最初に示したnが偶数という条件は使ってないように見えます。どこで使っているのでょうか？

お礼日時：2023/09/10 22:48

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/06 16:11

g:Z/nZ→Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}

像Imgの元の個数が2個であるものは
Img={0,4}だから
g(k)∈Img{0,4}⊂Z/8Z
だから
g(k)=0またはg(k)=4

g(k)=0のとき
g(2k)=2g(k)=g(k)+g(k)=0+0=0
g(k)=4のとき
g(2k)=2g(k)=g(k)+g(k)=4+4=0mod8

g(1)=0またはg(1)=4
g(1)=0と仮定すると
すべてのkに対して
g(k)=kg(1)=0となるから
Img={0}
となって
Img={0,4}に矛盾するから
∴
g(1)=4

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
g(1)=4とg(k)=0になる理由は分かりました。
①gが準同型になっていることは証明しなくてよいのですか。
②最初の回答でx=0(mod2)のとき、x=1(mod2)のとき
と場合分けしていますが、どうしてmod2で場合分けしようと思われたのですか。

お礼日時：2023/09/09 22:20

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/06 15:49

g:Z/nZ→Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}

像Imgの元の個数が2個であるものは
Img={0,4}だから
4+4=0mod8
g(k)∈Img{0,4}⊂Z/8Z
g(1)∈Img{0,4}⊂Z/8Z
g(k)=0.or.g(k)=4だから
2g(k)=g(k)+g(k)∈Img{0,4}⊂Z/8Z
mod2ではなくmod8です

g(0)=0
g(1)=4
となるのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/06 15:34

g:Z/nZ→Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}

Img={0,4}だから
g(0)=0
g(1)=4
となるのです

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/03 09:59

nは2以上の整数とする

群準同型g:Z/nZ→Z/8Z={0,1,2,3,4,5,6,7}
像Imgの元の個数が2個であるものは
Img={0,4}
準同型定理により (Z/nZ)/Kerg と Img は同型
(Z/nZ)/Kerg ～　Img
だから
(Z/nZ)/Kergの位数n/|kerg|はImgの位数|Img|=2に等しい
n/|kerg|=|Img|=2
n=2|kerg|
だから
nは偶数でなければならない

nが奇数のとき
Imgの元の個数n/|kerg|は奇数nの約数n/|kerg|は奇数で偶数2個にならないから
0個

nが偶数のとき

x=0(mod2)のとき
x=2kとなるkがあるから
g(x)=g(2k)=2g(k)=0

x=1(mod2)のとき
x=2k+1となるkがあるから
g(x)=g(2k+1)=2g(k)+g(1)=g(1)=4

1個

この回答へのお礼

丁寧に再回答いただきありがとうございます。
・2g(k)=0、g(1)=4となるのは、どうしてでしょうか？
・なぜmod２で考えればよいと思われたのでしょうか？
　Z/nZなのでmod nで考えるのかなと最初思ったのですが。

お礼日時：2023/09/06 12:53

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/03 09:50

No.2

①
g が Z/nZ 上の準同型なら、Ker g は Z/nZ の正規部分群であり、
その商群 (Z/nZ)/Ker g は Im g と同型である。これが準同型定理。
一般に商群 G/H は G のある部分群と同型であり、
Im g の位数は 2 だと与えられているから、
(Z/nZ)/Ker g は Z/nZ の位数 2 の部分群。
②
準同型 g が存在するような n を求めているのであり、
g を実際に構成することを要求している問題ではない。
g を構成しようとすると Z/nZ の具体的な群構造に踏み込むことになるが、
この問題はもっと基本的な群の性質だけから解決できるので
具体例の細部に触れることは下品だと思う。

この回答へのお礼

再び丁寧な回答ありがとうございます。
①「一般に商群 G/H は G のある部分群と同型であり、」が分かりませんでした。例えばG=Z、H=nZ (n≠0)であればG/Hは有限群であり、Gの部分群は無限群なので同型にならないのではと思いました。

お礼日時：2023/09/05 09:16