赤い下線部。なぜそうする必要があるのですか？

赤い下線部。なぜそうする必要があるのですか？

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/03 12:19

その赤線の表現は、ちょっと誤解を招きますが

「運動エネルギーは、位置エネルギーの 1/2 に等しい」
といっているのではなく、あくまで「①式を変形するとこうなる」といっているだけです。
「①より」とちゃんと書いてありますよね。

この場合には、
・人工衛星の運動エネルギーは
　Ek = (1/2)mv^2
・「地球の重力場」での人工衛星の位置エネルギーは、無限遠を基準（位置エネルギーがゼロ）とすると、無限遠から「万有引力」に逆らって（従って力の大きさは -GMm/x^2）距離 r の地点まで運んでくる「仕事」に相当するので
　Ep = ∫[∞→r](-GMm/x^2)dx
　　= [GMm/x][∞→r]
　　= 0 - GMm/r
　　= -GMm/r
（高校物理だと、これは「天から与えられた公式」かも）

従って、力学的エネルギーは
　E = Ek + Ep = (1/2)mv^2 - GMm/r　　　　②

ここで、①の関係が成り立っていることから
　(1/2)mv^2 = (1/2)GMm/r
と変形でき、②式に代入すると
　E = (1/2)GMm/r - GMm/r = -(1/2)GMm/r　　　③

無限遠、つまり宇宙のどこへでも行くためには、追加するエネルギーを ΔE とすると
　E + ΔE > 0　　　④
（すべての場所で、いかなる位置エネルギーの場所であっても力学的エネルギーが正、つまり運動エネルギーを持つ）
となることが必要であり、③④式より

　-(1/2)GMm/r + ΔE > 0
→　ΔE > (1/2)GMm/r

となります。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/03 11:09

P点の万有引力はF=G(Mm/r²)：①の右辺

この右辺をrで積分すると-G(Mm/r)+C。
Cを0としたものが、万有引力位置エネルギーで、-G(Mm/r)。

運動エネルギーは(1/2)mv²

力学的エネルギー＝運動エネルギー+位置エネルギーなので、
=(1/2)mv²-G(Mm/r)　②

ここからvを消去するために、①の両辺にr/2を掛けている。
[(1/2)mv²=GMm/2rが求まるから②にそのまま代入してる]

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/03 09:57

必要はありません。

ただのコツです。
十分条件ってやつです。