高一数学 二次関数 「D≧0」は、「下に凸の放物線ならばf（軸）≦0」 に置き換えることは可能ですか

高一数学 二次関数
「D≧0」は、「下に凸の放物線ならばf（軸）≦0」
に置き換えることは可能ですか？
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/04 13:41

「D≧0」は、「下に凸の放物線ならばf（軸）≦0、

上に凸の放物線ならばf（軸）≧0」に置き換えることが可能です。
半分だけに置き換えたらダメです。

それとも、「D≧0」は、下に凸の放物線ならば「f（軸）≦0」に
置き換えることは可能か... って言いたかったのかな？

この回答へのお礼

ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/07 13:55

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/04 11:10

No.2 です。

#2 は、質問文の

＞二次関数
「D≧0」は、

は「二次方程式の判別式 D≧0 は」という意味だとして回答しています。

単なる二次関数
　f(x) = ax^2 + bx + c
には「判別式」などという概念はありませんから。
あくまで
　f(x) = 0
という「方程式の解」の話をしています。

この回答へのお礼

ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/07 13:55

No.4 回答者： kantansi 回答日時： 2023/09/04 11:05

「D≧0」は、二次関数の判別式（ディスクリミナント）が0以上であることを意味します。

この条件は、二次関数が実数の解を持つことを示しています。一方、「下に凸の放物線ならばf（軸）≦0」は、二次関数が下に凸（開き口が下向き）である場合、頂点のy座標（f(軸)）が0以下であることを意味します。

これらの条件は、一般的には別々の性質を示すものであり、直接的に置き換えることはできません。具体的な関数や問題文の文脈に応じて、これらの条件がどのように関連しているかを考える必要があります。

ただし、一般的な二次関数（y = ax^2 + bx + c）の場合、D≧0が成り立つとき、二次関数は実数の解を持ち、グラフが下に凸か上に凸かは、a（二次の係数）の符号に依存します。aが正であれば下に凸、aが負であれば上に凸です。したがって、特定のaの値に対してf(軸)≦0が成り立つかどうかを考えることは可能です。

この回答へのお礼

ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/07 13:56

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/04 11:04

「D≧0」では、判別式は放物線の向きや軸とは関係ありません

少なくとも1つ以上の実数解があるという意味だけです。
つまり　この2次関数は少なくとも1ヶ所以上x軸と交点があることを示しているだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/07 13:56

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/04 11:02

はい、可能です。

他の質問に対する回答を、一部下記に記載します。
（この質問：
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13582632.html）


二次方程式

　ax^2 + bx + c = 0　　　①

の一般解は

　x = [-b ± √(b^2 - 4ac)]/(2a)　　　②

です。
このルートの中の
　b^2 - 4ac
が「判別式」です。
　D = b^2 - 4ac

従って、解②を書き換えれば
　x = [-b ± √D]/(2a)　　　　③

D > 0 なら、x=-b - √D と x=-b + √D の2つの実数解。
D = 0 なら x= -b の1つの実数解（「２つ」が「１つ」に重なるので重解）。
D < 0 なら実数解なし（２つの複素解）。

それが「判別式」の意味であり使い方です。


これを「視覚的」にグラフで考えると、①の方程式の解は
　y = ax^2 + bx + c　　　④
という二次曲線（放物線）と
　y = 0　　　　　　　　　⑤
の直線つまり「x軸」との交点（共有点）の「x 座標」ということになります。
④と⑤の連立方程式ということですから。
そして「共有点の x 座標」は「実数」ということです。

④は「平方完成」形にしてみれば
　y = a[x + b/(2a)]^2 - b^2 /(4a) + c
　　 = a[x + b/(2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)　　　　⑥
これは、上の「判別式 D」を使えば
　y = a[x + b/(2a)]^2 - D/(4a)　　　　　⑦
だということが分かりますか？

ということで
・a>0 ならば「下に凸」の放物線、
　a<0 ならば「上に凸」の放物線
・頂点は (-b/(2a), -D/(4a))
ということが分かります。

この放物線と「x軸との共有点」が「①の解」なので
・a>0 の「下に凸」の放物線では、
　・頂点の y 座標が「マイナス」つまり
　　　-D/(4a) < 0 → D>0　（a>0 だから）
　　であれば x 軸と2点で交わる
　・頂点の y 座標が「0」つまり
　　　-D/(4a) = 0 → D=0
　　であれば x 軸と１点で接する
　・頂点の y 座標が「プラス」つまり
　　　-D/(4a) > 0 → D<0　（a>0 だから）
　　であれば x 軸との共有点はない
ということが分かります。

いうまでもないと思いますが、
・a<0 の「上に凸」の放物線では、
　・頂点の y 座標が「プラス」つまり
　　　-D/(4a) > 0 → D>0　（a<0 だから）
　　であれば x 軸と2点で交わる
　・頂点の y 座標が「0」つまり
　　　-D/(4a) = 0 → D=0
　　であれば x 軸と１点で接する
　・頂点の y 座標が「マイナス」つまり
　　　-D/(4a) > 0 → D<0　（a<0 だから）
　　であれば x 軸との共有点はない
ということが分かります。

この回答へのお礼

ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/07 13:56

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2023/09/04 10:56

「D≧0」（判別式が非負）は、二次関数の放物線が実数の解を持つ条件を表しています。

これは、二次方程式が実数解を持つ場合を示すもので、放物線が上に凸でも下に凸でも関係ありません。そのため、「D≧0」は、「上に凸の放物線ならばf（軸）≦0」に置き換えることはできません。

「下に凸の放物線ならばf（軸）≦0」という条件は、ある特定の状況や問題文において成り立つかもしれませんが、それは「D≧0」とは異なる条件であり、一般的な数学的な関係性としては成り立つものではありません。したがって、これらの条件は直接的には置き換えることはできません。

この回答へのお礼

ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/07 13:57