【数Ⅰ】次の2次方程式が重解をもつとき,定数mの値を求めよ。また,そのときの重解を求めよ。 なぜその

【数Ⅰ】次の2次方程式が重解をもつとき,定数mの値を求めよ。また,そのときの重解を求めよ。

なぜその手順でやるかも分かりやすく教えてほしいです。

No.10 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/04 09:44

No.7 です。

教科書を見れば書いてあると思いますが、二次方程式

　ax^2 + bx + c = 0　　　①

の一般解は

　x = [-b ± √(b^2 - 4ac)]/(2a)　　　②

です。
このルートの中の
　b^2 - 4ac
が「判別式」です。
　D = b^2 - 4ac

従って、解②を書き換えれば
　x = [-b ± √D]/(2a)　　　　③

D > 0 なら、x=-b - √D と x=-b + √D の2つの実数解。
D = 0 なら x= -b の1つの実数解（「２つ」が「１つ」に重なるので重解）。
D < 0 なら実数解なし（２つの複素解）。

それが「判別式」の意味であり使い方です。


これを「視覚的」にグラフで考えると、①の方程式の解は
　y = ax^2 + bx + c　　　④
という二次曲線（放物線）と
　y = 0　　　　　　　　　⑤
の直線つまり「x軸」との交点（共有点）の「x 座標」ということになります。
④と⑤の連立方程式ということですから。
そして「共有点の x 座標」は「実数」ということです。

④は「平方完成」形にしてみれば
　y = a[x + b/(2a)]^2 - b^2 /(4a) + c
　　 = a[x + b/(2a)]^2 - (b^2 - 4ac)/(4a)　　　　⑥
これは、上の「判別式 D」を使えば
　y = a[x + b/(2a)]^2 - D/(4a)　　　　　⑦
だということが分かりますか？

ということで
・a>0 ならば「下に凸」の放物線、
　a<0 ならば「上に凸」の放物線
・頂点は (-b/(2a), -D/(4a))
ということが分かります。

この放物線と「x軸との共有点」が「①の解」なので
・a>0 の「下に凸」の放物線では、
　・頂点の y 座標が「マイナス」つまり
　　　-D/(4a) < 0 → D>0　（a>0 だから）
　　であれば x 軸と2点で交わる
　・頂点の y 座標が「0」つまり
　　　-D/(4a) = 0 → D=0
　　であれば x 軸と１点で接する
　・頂点の y 座標が「プラス」つまり
　　　-D/(4a) > 0 → D<0　（a>0 だから）
　　であれば x 軸との共有点はない
ということが分かります。

いうまでもないと思いますが、
・a<0 の「上に凸」の放物線では、
　・頂点の y 座標が「プラス」つまり
　　　-D/(4a) > 0 → D>0　（a<0 だから）
　　であれば x 軸と2点で交わる
　・頂点の y 座標が「0」つまり
　　　-D/(4a) = 0 → D=0
　　であれば x 軸と１点で接する
　・頂点の y 座標が「マイナス」つまり
　　　-D/(4a) > 0 → D<0　（a<0 だから）
　　であれば x 軸との共有点はない
ということが分かります。


上に書いたようなことが「判別式」の意味です。
ちゃんと教科書に書いてあるよ。
人生で1回は読もう。（ちゃんと理解すれば一生に1回でよい）

No.11 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/06 17:13

No.7 です。

「お礼」に書かれてことについて。

＞でこの問題でなんで定数mという元の式の一部が解の個数で求められるのかが分からないということです

「因果関係」「必要十分条件」ということですよ。

「親の因果が子に報い・・・」というやつ。
https://kotobank.jp/word/%E8%A6%AA%E3%81%AE%E5%9 …

あなたが書いているとおり
「判別式が2次方程式の公式のルートの中というのは分かります。
正で2つで、0で1つで、不で0個なんですよね？」
そのとおりです。

問題で与えられている「重解」とは「解が１つ」ということです。
あなたのいう「0で1つ」つまり「判別式 = 0 なら解は１つ」というのは「必要十分条件」ですから、その逆の
「解が一つなら、判別式 = 0」
も成り立つんですよ。
そして、D=0 となる m の方程式から、m の値も定まります。

数学は、そういう「因果関係」で成り立っています。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/04 09:15

ax^2+bx+c=0 (a≠0) を (xを含む式)^2=定数 という形に変形したいのです。

左辺の x^2 項が (ax)^2 の形になるように、
両辺に 4a を掛けて (2ax)^2+2ab(2ax)+4ac=0.
定数項を移項して (2ax)^2+2b(2ax)=-4ac.
左辺が (xを含む式)^2 を展開した形になるように、
両辺に b^2 を足して (2ax+b)^2=b^2-4ac. この右辺が D です。
こうすると、2ax+b=±√D と、2乗のない式に変形できるからです。
あとは、1次方程式を解いて x = (-b±√D)/(2a) でよいですね。

2ax+b=±√D にするとき、 D>0 なら右辺の値は 2個ありますが、
D=0 なら 1個の 0 しかないし、 D<0 なら 1個もありません。
だから、この変形で 2次方程式の解の個数が区別できるのです。
解の個数を判別するので、「判別式」といいます。

この a,b,c に、写真の方程式をあてはめてみてください。
ほれ、自分でやってみてください。

No.8 回答者： kairou 回答日時： 2023/09/03 20:45

＞Ｄって個数を知りたいときに使うくらいしか分かってないです。

そう それで良いです。
「重解」ですから 解は 1つ と云う事です。
従って 判別式で 解の個数が 1つの時を 計算すれば 良いです。
画像は それを計算してますね。

No.7 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/03 20:05

No.3 です。

#2さんへのお礼＞Ｄって個数を知りたいときに使うくらいしか分かってないです。
どう言うときに登場してどのように使うのでしょうか？

おいおい、だったら質問する前に自分で勉強しろよ。
回答をもらっても理解できないんじゃ、回答しても無駄だった。

「判別式」は、要するに「二次方程式の一般解」の「ルートの中」だよ。
ルートの中が「マイナス」だったら「複素数」なので、２つの「複素解」になり、
ルートの中が「0」だったら「2つの解は同じ値」つまり「重解」になり、
ルートの中が「プラス」だったら「実数」なので、２つの異なる「実数解」になる。

何を勉強しているんだか。

この回答へのお礼

判別式が2次方程式の公式のルートの中というのは分かります。
正で2つで、0で1つで、不で0個なんですよね？

でこの問題でなんで定数mという元の式の一部が解の個数で求められるのかが分からない
ということです

お礼日時：2023/09/06 16:35

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2023/09/03 19:48

他の方の回答へのお礼コメントを読ませていただきましたが、そこに書いておられた「D(判別式)はどう言う時に使うものなのか」と言うハウツーもの的な発想がそもそも間違っていると思います。

それよりも「判別式とは何か」と言う定義を理解する方が先決です。そうすれば先の回答に書いたように「解の公式で解いたら判別式が0になるなあ。と言う事はこの方程式は重解を持つんだなあ」と言った事がいもづる式に明らかになるわけですから「判別式はどんな時に」なんていちいち考える必要がありません。

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2023/09/03 19:13

お礼コメントを読ませていただきましたが、二次方程式が重解を持つと言う事は「判別式が0」と言う事に他なりません。

実際、重解を持つ二次方程式を解の公式で解くと

x=α±√0

と言う形になるわけですから、根号の中身すなわち判別式は0になります。

もしも判別式が0にならないとしたら、先の方程式の解は

x=α±√β (β≠0)

と言う形になりますが、これだと解は二つになって「重解を持つ」と言う条件と矛盾する事になります。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/03 16:36

(1)

x^2+4mx+25=0
(x+2m)^2-4m^2+25=0
↓両辺に4m^2-25を加えると
(x+2m)^2=4m^2-25
↓(x+2m)^2=0のとき重解x=-2mだから
4m^2-25=0
↓両辺に25を加えると
4m^2=25
↓両辺を4で割ると
m^2=25/4
↓両辺を1/2乗すると

m=±5/2

x=-2m
m=5/2のときx=-5
m=-5/2のときx=5

(2)
4x^2+(m+2)x+m-1=0
4{x+(m+2)/8}^2+m-1-(m+2)^2/16=0
↓両辺に16をかけると
64{x+(m+2)/8}^2+16m-16-(m+2)^2=0
64{x+(m+2)/8}^2+16m-16-m^2-4m-4=0
64{x+(m+2)/8}^2-m^2+12m-20=0
↓両辺にm^2-12m+20を加えると
64{x+(m+2)/8}^2=m^2-12m+20
64{x+(m+2)/8}^2=(m-2)(m-10)
↓{x+(m+2)/8}^2=0のとき重解x=-(m+2)/8だから
(m-2)(m-10)=0

m=2 または m=10

x=-(m+2)/8
m=2のときx=-1/2
m=10のときx=-3/2

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/03 15:33

「解の判別式」を使います。

習ったよね？
何故その手順かって？
そのために「判別式」があるから。

ちなみに、二次方程式
　ax^2 + 2bx + cb = 0
の判別式は
　D = (2b)^2 - 4ac
ですが、x の1次項の係数が「2の倍数」のときには
　D/4 = b^2 - ac
を使ってもよいです。


(1) D/4 ＝(2m)^2 - 25 = 4m^2 - 25 = 0
より
　m^2 = 25/4
→　m = ±5/2

(1a) m = 5/2 のとき、与方程式は
　x^2 + 10x + 25 = 0
→　(x + 5)^2 = 0
→　x = -5
よって、重解は -5

(1b) m = -5/2 のとき、与方程式は
　x^2 - 10x + 25 = 0
→　(x - 5)^2 = 0
→　x = 5
よって、重解は 5


(2) D ＝(m + 2)^2 - 16(m - 1) = m^2 - 12m + 20
　= (m - 10)(m - 2) = 0
より
　m = 2 または 10

(2a) m = 2 のとき、与方程式は
　4x^2 + 4x + 1 = 0
→　(2x + 1)^2 = 0
→　x = -1/2
よって、重解は -1/2

(2b) m = 10 のとき、与方程式は
　4x^2 + 12x + 9 = 0
→　(2x + 3)^2 = 0
→　x = -3/2
よって、重解は -3/2


もし「判別式」を使わないなら

(1) 重解を p とすれば
　x^2 + 4mx + 25 = (x - p)^2
と書けるので、これを展開して
　x^2 + 4mx + 25 = x^2 - 2px + p^2
これが恒等的に成り立つためには
　2m = -p　　　①
　25 = p^2　　　②
これから
　p = ±5
→　m = ±5/2

（注）①より p = -2m を②に代入した
　25 = (-2m)^2
→　(2m)^2 - 25 = 0
が「判別式：D/4」であることが分かりますか？

(2) 重解を q とすれば
　4x^2 + (m + 2)x + m - 1 = 4(x - q)^2
と書けるので、これを展開して
　4x^2 + (m + 2)x + m - 1 = 4x^2 - 8qx + 4q^2
これが恒等的に成り立つためには
　m + 2 = -8q　　　③
　m - 1 = 4q^2　　　④
③から
　q = -(m + 2)/8
を④に代入して
　m - 1 = (m^2 + 4m + 4)/16
→　m^2 - 12m + 20 = 0　　　　　⑤
→　(m - 10)(m - 2) = 0
→　m=2, 10

（注）この⑤が「判別式：D」であることが分かりますか？

No.2 回答者： AっKI 回答日時： 2023/09/03 15:15

平方完成して

重解になるような形にすればいい。

画像でＤなるものを使っているが
Ｄとは何でしょうか？
それが分かっていないのに使っても意味ないですよ。

この回答へのお礼

すみません。Ｄって個数を知りたいときに使うくらいしか分かってないです。

どう言うときに登場してどのように使うのでしょうか？

お礼日時：2023/09/03 19:08