高一数学二次関数 画像あり 〔HiPrime 58ページ 231番〕 （2）です。 因数分解の式に変

高一数学二次関数 画像あり

〔HiPrime 58ページ 231番〕

（2）です。
因数分解の式に変形できないのに、どうやってとけば良いのでしょうか？
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/08 12:07

No.4 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞なぜ定義域を0 ≦ x ≦ 3 として計算するのでしょうか？(>_<。)

だから、最初に書いたように

「不等式
　x^2 - 3x ≦ 0
を満たすすべての実数とは
　x(x - 3) ≦ 0
より
　0 ≦ x ≦ 3　　　　　①
ということです。」

だからですよ。

問題を解くには、「どのような条件下で、何を求めるのか」をまずしっかり把握すること。

この回答へのお礼

そもそも、y = f(x) = x^2 + 2(a - 1)x - a - 5という関数と考えるため、0 ≦ x ≦ 3　はxの範囲を定めているから定義域になるということなんですね！
下に凸のグラフの最大値は、2通りに場合分けするから、それぞれの場合で最大値を求めてそれが0以下になるようにして、場合分けは最後に合わせた範囲が答えになるから、　-5 ≦ a ≦ 5/2となるということですね！！！
とても理解できました！！
ありがとうございます !!

お礼日時：2023/09/09 11:17

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/07 20:10

グラフを使って解いてみます。

不等式
　x^2 - 3x ≦ 0
を満たすすべての実数とは
　x(x - 3) ≦ 0
より
　0 ≦ x ≦ 3　　　　　①
ということです。

この x の定義域に対して不等式が成立するように a の範囲を定めます。

まずは
　y = f(x) = x^2 + 2(a - 1)x - a - 5
のグラフの概形を調べるために「平方完成形」を作ってみれば
　y = x^2 + 2(a - 1)x - a - 5
　　= [x + (a - 1)]^2 - (a - 1)^2 - a - 5
　　= [x + (a - 1)]^2 - a^2 + a - 6　　　　　②

与えられた不等式は、このグラフが ① の定義域で
　y ≦ 0
ということですから、「x 軸上または下」にあるということです。
つまり、②のグラフの定義域における「最大値」が「０以下」であればよいわけです。

(i) 軸 x = -(a - 1) が定義域の真ん中の x=3/2 より左にあれば、つまり
　-(a - 1) ≦ 3/2 → -1/2 ≦ a　　　③
ならば、定義域 0 ≦ x ≦ 3 での最大は x=3 のとき。
　f(3) = 5a - 2 ≦ 0
より
　a ≦ 2/5
③との共通範囲は
　-1/2 ≦ a ≦ 2/5

(ii) 軸 x = -(a - 1) が定義域の真ん中の x=3/2 より右にあれば、つまり
　3/2 ≦ -(a - 1) → a ≦ -1/2　　　④
ならば、定義域 0 ≦ x ≦ 3 での最大は x=0 のとき。
　f(0) = -a - 5 ≦ 0
より
　-5 ≦ a
④との共通範囲は
　-5 ≦ a ≦ -1/2

以上より、求める範囲は (i) または (ii) で
　-5 ≦ a ≦ 5/2

この回答へのお礼

なぜ定義域を0 ≦ x ≦ 3 として計算するのでしょうか？(>_<。)

お礼日時：2023/09/08 11:52

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/07 17:06

x(x-3)≦0

0≦x≦3

x^2+2(a-1)x-a-5≦0
(x+a-1)^2-(a-1)^2-a-5≦0
(x+a-1)^2-a^2+2a-1-a-5≦0
(x+a-1)^2-a^2+a-6≦0
(x+a-1)^2-(a^2-a+6)≦0
(x+a-1)^2-{(a-1/2)^2+23/4}≦0
(x+a-1+√(a^2-a+6))(x+a-1-√(a^2-a+6))≦0
{x-(1-a-√(a^2-a+6))}{(x-(1-a+√(a^2-a+6))}≦0
1-a-√(a^2-a+6)≦x≦1-a+√(a^2-a+6)

0≦x≦3
を満たすすべての実数xが
1-a-√(a^2-a+6)≦x≦1-a+√(a^2-a+6)
を満たすから

1-a-√(a^2-a+6)≦0≦x≦3≦1-a+√(a^2-a+6)

(1-a-√(a^2-a+6)≦0)&(3≦1-a+√(a^2-a+6))
(1-a≦√(a^2-a+6))&(a+2≦√(a^2-a+6))
((1-a)^2≦a^2-a+6)&((a+2)^2≦a^2-a+6)
(a^2-2a+1≦a^2-a+6)&(a^2+4a+4≦a^2-a+6)
(-5≦a)&(5a≦2)
(-5≦a)&(a≦2/5)
∴
-5≦a≦2/5

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2023/09/07 15:32

x^2 -3x=x(x-3)<=0より　xは0以上3以下である。

つまり 0<=x<=3
その定義域において
(2) f(x)=x^2 +2(a-1)x-a-5=0 の判別式D/4は
D/4=(a-1)^2 -(-a-5)=a^2 -2a+1+a+5=a^2 -a+6
=(a-1/2)^2 -1/4+6 >0
なので　この2次関数は異なる実数解が存在し　また
x^2 の次数が正なので　下向きで
軸は a-1 より
0<a-1<3　から1<a<4
f(0)=-a-5 <=0 から　-5<=a
f(3)=9+2(a-1)3-a-5=a-3 <=0 から　a<=3
従って 全て満たすaは
1<a<=3

この回答へのお礼

答えは
－5≦a≦2/5
です

お礼日時：2023/09/08 11:53

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/09/07 14:34

=0として、解の公式を使って2個の解a,bを求めると、

(x-a)(x-b)に因数分解出来ますよ。

または、平方完成形に変形する。

この回答へのお礼

やってみましたができません(>_<。)
計算の過程を教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

お礼日時：2023/09/08 11:56