高一数学二次関数 画像あり 〔HiPrime 60ページ 239番〕 解説は、k＝1とk＞1で場合分

高一数学二次関数 画像あり

〔HiPrime 60ページ 239番〕

解説は、k＝1とk＞1で場合分けしていました。
なぜこの場合分けになるのですか？

私は、判別式＞0になるのを求めてから、k≧1の条件を付け足して、
1≦k＜（1+√5）/2
という答えにしました。

教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/09 23:53

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞kの場合分けについては、二次関数のx²の係数に文字が含まれる場合は、x²の係数＝0,正、負の3つで場合分けという基本があるからでしょうか？

はい、そうです。
係数が 0 のとき：二次関数ではなく、一次関数以下になります。
係数が「正」のとき：y=f(x) のグラフは「下に凸の放物線」になります。
係数が「負」のとき：y=f(x) のグラフは「上に凸の放物線」になります。


＞この場合は、k≧1と既に書いてあるから、2つの場合分けがされているということでしょうか？(>_<。)

はい、そうです。
k=1 のとき、係数が 0
k>1 のとき、係数が「正」
になります。

(k - 1)x^2 + 2kx + 2k + 1 = 0　　　①

(i) k=1 のときは、①は一次関数で
　2x + 3 = 0
ですから、
　x = -3/2
という「１つ」の解しか存在しません。
従って「異なる2点で交わる」という条件を満足しません。

(ii) k>1 のとき、①が「２つの異なる実数解」を持つためには、判別式から
　D/4 = k^2 - (k - 1)(2k + 1)
　　　= k^2 - 2k^2 + k + 1
　　　= -k^2 + k + 1 > 0　　　　　②

ここで、
　k^2 - k - 1 = 0
の解は
　k = [1 ± √(1 + 4)]/2 = (1 ± √5)/2
ですから、②は
　[k - (1 - √5)/2][k - (1 + √5)/2] < 0
と書けます。
これを満たすのは
　(1 - √5)/2 < k < (1 + √5)/2
のときですが、最初に「k > 1 のとき」という条件が付いているので、
　1 < k < (1 + √5)/2
ということになります。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/09 14:46

＞ 場合分けについては、x の一次方程式とxの二次方程式は全く別のため、

＞ それぞれで場合分けするということなのでしょうか?

そのとおりです。
自分でも、「判別式＞0になるのを求めてから」って書いてるじゃないですか。
判別式を使えるのは二次方程式のときなので、
二次方程式である場合と二次方程式ではない場合は分けて扱う必要が生じます。
それが、x^2 の係数 k-1≠0 と k-1=0 の場合分けです。
問題で k≧1 と決めてあるなら、k>0 と k=1 の場合分けってことになりますね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/08 19:48

No.1 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞移項の仕方については、
＞「x の一次方程式」になる場合のkの値を出しやすくするために、
(k - 1)x^2 + 2kx + 2k + 1 = 0　　　①
の形になるように移項するとよいということでしょうか？

移項？　違うよ。

２つの「y = ～」の式の「連立方程式」を解くんだよ。
「交点では「y が等しい」ことから」って書いてあげたでしょ？

その連立方程式から「y を消去」した①式を解けば、交点の「x 座標」が求まるということですよ。
解は「二次方程式の一般解」から求まる。

ここでは、解を求める必要はなく、交点は「2つの異なる2点」だから「判別式 D>0」となる k の範囲を求めればよい。

自分は何をしたいのか、そのために何をすればよいのか、ということは、ちゃんと「自分のアタマで」考えないといけません。

この回答へのお礼

ありがとうございます !!
kの場合分けについては、二次関数のx²の係数に文字が含まれる場合は、x²の係数＝0,正、負の3つで場合分けという基本があるからでしょうか？
この場合は、k≧1と既に書いてあるから、2つの場合分けがされているということでしょうか？(>_<。)

お礼日時：2023/09/09 11:33

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/09/07 17:33

＞なぜこの場合分けになるのですか？

２つの放物線の交点を求めるには、交点では「y が等しい」ことから

　x^2 - kx - 2k = kx^2 + kx + 1
→　(k - 1)x^2 + 2kx + 2k + 1 = 0　　　①

の解が「交点の x 座標」になります。

①は、k=1 のときには「x の一次方程式」になり、解は「１つ」だけです。
従って「異なる２点で交わる」という条件を満たしません。

この回答へのお礼

移項の仕方については、
「x の一次方程式」になる場合のkの値を出しやすくするために、
(k - 1)x^2 + 2kx + 2k + 1 = 0　　　①
の形になるように移項するとよいということでしょうか？
また、場合分けについては、x の一次方程式とxの二次方程式は全く別のため、それぞれで場合分けするということなのでしょうか?
教えて下さると助かります(* .ˬ.)‪ෆ‪.*･ﾟ

お礼日時：2023/09/08 16:33