ん。ぜんぜんわかりましぇん。(´；ω；｀) Cの固有多項式は|rEs-C|=(x-3)(x^2-3)

ん。ぜんぜんわかりましぇん。(´；ω；｀)

Cの固有多項式は|rEs-C|=(x-3)(x^2-3) だからC の固有値は 3, ±√3 であって、Cは対角化可能である.

Cは
-112
-121
3-22

の3×3正方行列です。どうして対角化可能といえるのかの行間うめてください。なんでもします。

No.2 ベストアンサー 回答者： 確変 回答日時： 2023/09/24 18:57

「正方行列の固有値がすべて異なるならば, その行列は対角化可能である」は有名な命題で, 誰でも知っている.

行間なんて無い.
貴方が勉強不足なだけだ.

この回答へのお礼

うん。ごめんなさい。

お礼日時：2023/09/24 20:13

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/24 20:35

D

=
(3,0..,0.)
(0,√3,0.)
(0,0,-√3)

とする

固有値λ1=3に対する固有ベクトルp1=(p11;p12;p13)
固有値λ2=√3に対する固有ベクトルp2=(p21;p22;p23)
固有値λ3=-√3に対する固有ベクトルp3=(p31;p32;p33)

3つの固有ベクトルを
並べた行列を
P=(p1,p2,p3)
とすると

固有ベクトルの定義から
Cp1=λ1p1
Cp2=λ2p2
Cp3=λ2p3
だから

CP
=C(p1,p2,p3)
=(Cp1,Cp2,Cp3)
=(λ1p1,λ2p2,λ3p3)
=
(p11,p21,p31)(λ1,0,0)
(p12,p22,p32)(0,λ2,0)
(p13,p23,p33)(0,0,λ3)
=
(p1,p2,p3)D
=
PD

∴
CP=PD

異なる固有値
λ1=3,λ2=√3,λ3=-√3
に対応する固有ベクトル
p1,p2,p3
は、線形独立であるから
P=(p1,p2,p3)
は正則だから
Pの逆行列
P^(-1)
が存在するから

CP=PD
の両辺に左からP^(-1)をかけると
∴
P^(-1)CP=D

∴Cは対角化可能

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/09/24 19:54

C の固有方程式に重解がないから、

C のジョルダン標準形は 1次のジョルダン胞のみからなる。
つまり、対角化になっている。

この回答へのお礼

なるほどっ。ありがとうございます

お礼日時：2023/09/24 20:10

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/24 19:01

異なる固有値に対応する固有ベクトルは、線形独立であるから

Cの固有値がすべて異なるから
Cは対角化可能である

この回答へのお礼

理解しましたー。ありがとうございます!

お礼日時：2023/09/24 20:10

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/09/24 17:05

固有値3に対する固有ベクトル

固有値√3に対する固有ベクトル
固有値-√3に対する固有ベクトル
を求め
3つの固有ベクトルを
並べた行列を
P
とすると

P^(-1)CP

が対角行列になる

この回答へのお礼

えとー、それは誰でもわかるんですけど。固有値が3つでた時点で対角化可能っていえるのはどうしてですか？って質問です。。

お礼日時：2023/09/24 17:11