掛け算について

男子大学院1年生。

足し算は線形性があり、線形代数とかで勉強しているのですが、掛け算はなんか正室が悪そうです。
何故なんでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/10/22 12:41

なんの断りもなく「足し算」「掛け算」と仰っているんで、これらは「ふつうのかずのたしざん+、かけざん×」のことだと思うしかなさそうです。

　だとすると：「足し算が（なんらかの意味で）線形」だと言うには少しややっこしい議論が必要になる。
　なぜなら、もしお考えの代数系の和とスカラー積が「ふつうのかずのたしざん+、かけざん×」であれば、「ふつうのかずのたしざん+」が線形性を持たないのは明らかだから。

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　大学院生が「線形代数とかで勉強」なさっている代数系の和とスカラー積をそれぞれ※, ●と書くことにする。二項演算fが線形性を持つというのは
　　f(x ※ y, z) = f(x,z) ※ f(y,z) …(1)
　　f(x, y ※ z) = f(x,y) ※ f(x,z) …(2)
　　f(s●x, y) = s●f(x,y) …(3)
　　f(x, s●y) = s●f(x,y) …(4)
が成り立つということでした。

　まず、「ふつうのかずのかけざん×」が
　　(x ※ y)×z = (x×z) ※ (y×z) …(1')
　　x×(y ※ z) = (x×y) ※ (x×z) …(2')
　　(s●x)×y = s●(x×y) …(3')
　　x×(s●y) = s●(x×y) …(4')
を満たすか。例えば
　　S = ふつうのかず
　　※ = +
　　● = ×
とすれば、実際これらを満たすので、「ふつうのかずのかけざん×」はこの代数系(●,※)=(×,+)で線型性を持っている。

　しかし代数系(●,※)=(×,+)では「ふつうのかずのたしざん+」は線形性を持たない。実際、「ふつうのかずのたしざん+」が線形性を持つには
　　(x ※ y)+z = (x+z) ※ (y+z) …(1'')
　　x+(y ※ z) = (x+y) ※ (x+z) …(2'')
　　(s●x)+y = s●(x+y) …(3'')
　　x+(s●y) = s●(x+y) …(4'')
でなくちゃいけないけれども、(●,※)=(×,+)だとすると
　　(x + y)+z ≠ (x+z) + (y+z)
だから、(1'')を満たさない。

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　では、●, ※が「ふつうのかずのかけざん、たしざん」ではないとして、「ふつうのかずのたしざん+」が線型性を持つような●, ※はどんなものか。例えば
　　s●x = x
　　x ※ y = (x+y)/2 （右辺は「ふつうのかずのたしざんとわりざん」）
とすると、(1'')～(4'')が成り立つだけでなく、(1')～(4')も成り立つことがわかるでしょう。
　つまり、この系(●,※)においては、「ふつうのかずのたしざん+とかけざん×」が共に線型性を持つ。

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　という訳で「どっちが（側室はさておき）正室が悪そう」かと尋ねられて感想を述べるのなら、そりゃ「ふつうのかずのたしざん+」の方ですね。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/10/21 20:19

掛け算だって線形演算ですよ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/21 13:18

正室が悪そうって、徳川家康かよ？

側室が悪そうなら、豊臣秀吉だが。

「掛け算は性質が悪そう」って言いたいなら、
性質が悪いとはどういうことか
きちんと決めてから話さなきゃ。

質問文を見ると、足し算が線型であることを
性質が良いと思っているように見えるのだが、
それなら、掛け算だって両方の引数について
それぞれ線型であることに変わりはない。

どんなとこが「性質が悪そう」と思うの？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/10/21 12:55

「正室が悪そう」とは?

具体的には誰の正室がどのように「悪そう」だといいたいのかな?

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/10/21 12:20

掛け算は、足し算の繰り返しですよ。