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すみません。力学的エネルギー保存則の導出を例に質問させてください。

簡単に鉛直方向の一次元の問題として、考えます。バネの一端は原点に固定されており、もう一端は質量mに取り付けられてるとします。

ma=-kx-mg  ① 運動方程式
この両辺にv(速度)を掛けて
mav=-kxv-mgv  ②

これを微分の形で表すと
d/dt(1/2(mv^2))=d/dt(-1/2kx^2-mgx )③

両辺まとめると
d/dt(1/2mv^2+1/2kx^2+mgx)=0 ④

左辺の()の内部は、この系全体の力学的エネルギーの総和を表しており、その時間微分が0なので、力学的エネルギーの総和は時間によって変わらないことを意味する。
このような導出になるかと思います。

ところで、①から④を導出したわけですが、これを数式的に見ると、両辺にvを掛けてる①から②の変形は明らかに必要条件の変形かと思われます。
後の変形は(a=dv/dtとv=dx/dtはいつでも成立するので)同地変形と思います。
いずれにせよ、全体として、一部に必要条件が含まれるので、この導出は数学的には必要性の式変形かと思われます。

つまり、①の運動方程式が成立することを認めると、必要条件として④の力学的エネルギー保存を導出してると思うのです。

このように、既に成立することが実験などで認められてる運動方程式①のような法則から、必要性の式変形をたどれば、①が成立するために、少なくとも必要な条件式=新しい法則が導けると思うのですが、
このように得られた新しい条件式は、必ず成立すると言いきれるのでしょうか?
数学的には、そう言い切れる気がするのですが

それとも、やはりこの式も実験などで実証しないと正しいとは言い切れないのでしょうか?つまり、単なる仮説の導出にすぎないのでしょうか?

変なことを聞いていたらすみません。

質問者からの補足コメント

  • どう思う?

    お返事ありがとうございます。
    つまり、力学的エネルギー保存則は、法則である運動方程式から必要条件として導出される定理ということですね?

    また、定理は、他のすでに正しいと認められてる法則などから導出された時点で必ず成立するが、法則は実験などで実証されてはじめて成立が認められる、という考えになりますか?

    よろしくお願いします。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/11/04 18:47
  • うれしい

    ありがとうございます。

    まさに、そういう話が知りたかった内容になります。

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/11/04 19:54
  • お返事ありがとうございます。

    少し、知識を整理してから質問させてください。
    ちょっと時間かかるかもしれません。

    よろしくお願いします。

    No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/11/04 19:59
  • No3の方にお聞きしたいのですが、
    aにvをかけるなら、aかけるvが何かしらの物理的な実態を持たなければ‥という部分ですか、
    これは、皆さんのおっしゃる物理学における定理の導出の式変形のルールになると思うのですが、どのようにすれば学べますか?
    まさに気になってた話になるかと思われます。
    書籍など、教えてもらえないでしょうか?

    よろしくお願いします。

      補足日時:2023/11/04 20:20
  • どう思う?

    お返事ありがとうございます。
    ① 3についてですが、同等と言われてますのは、今のケースで言うと力学的エネルギー保存則が運動方程式から導かれる定理である、という意味でしょうか? つまり、運動方程式さえ正しければ、必要条件として導かれる力学的エネルギー保存則も成立してることになる。そして、2で運動方程式が実験で正しいと確認されることで力学的エネルギー保存も同様に認められる。こういう理解で良いでしょうか?


    >>かけたものに物理的な‥
    この部分にも興味があります。運動方程式の定理として力学的エネルギー保存則を導出する流れのなかで、数学と違い、単に両辺にvを掛けて必要条件の変形を行うだけでは、物理の式の変形としては不十分で、掛けた結果出てくるa.vに物理的な意味が求められるという理解で良いでしょうか?
    つまり、式変形の過程で出てくる任意の項に意味が求められ、別途吟味される必要があるのですか?

    No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/11/05 06:06

A 回答 (10件)

外野の立場ですが、回答No.7に対する補足コメントが気になったので勝手に。



補足コメントの言い方だと物理法則を表す式に対して「まず数式が最初に立てられ、そしてその数式の意味が後から付与される」と言った受け取り方しかできないような気がしますが、もちろんそんなアホな事はあり得ません。運動方程式や力学的エネルギー保存則の式のような物理法則を表す数式は文字通り「物理法則を表す」と言う目的で作られます。つまり数式が作られた時点で既に物理的な意味が存在している事になるわけであって、物理的な意味が存在しない数式なんてあり得ない(∴意味を別途吟味などと言う必要もない)事になりますし、変形途中の数式も当然同じです。

ただし物理的な意味と言っても「意味が具体的にイメージできる」と言うものばかりではありません。例えば(天下り的な言い方になってしまいますが)大学の力学に出て来るラグランジアンと言う物理量(エネルギーの次元を持つ量です)の場合はラグランジアンを表す数式の形に意味があるのであって、ラグランジアンの値そのものにはほとんど何の意味もありません。なのでラグランジアンの物理的な意味を具体的にイメージしようとするのはほぼ無意味です。
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① 3についてですが、同等と言われてますのは、今のケースで言うと力学的エネルギー保存則が運動方程式から導かれる定理である、という意味でしょうか? 



同等は同等。まったく同じ意味であり、式であるということです。

>つまり、運動方程式さえ正しければ、必要条件として導かれる力学的エネルギー保存則も成立してることになる。そして、2で運動方程式が実験で正しいと確認されることで力学的エネルギー保存も同様に認められる。こ
ういう理解で良いでしょうか?

これは違います。導かれた式は、たんなる数式で、運動方程式が成り立てば、必ず成り立ちます。実験も別にする必要がありません。

一方で、それが力学的エネルギーが保存されるという普遍的事実を説明していることにはなりません。単に、該当する座標で、該当する数式の時間微分が0というだけの、至って当たり前の意味になります。


>>かけたものに物理的な‥
この部分にも興味があります。運動方程式の定理として力学的エネルギー保存則を導出する流れのなかで、数学と違い、単に両辺にvを掛けて必要条件の変形を行うだけでは、物理の式の変形としては不十分で、掛けた結果出てくるa.vに物理的な意味が求められるという理解で良いでしょうか?

主従が逆ですね。対象とする数値や、それを組み合わせたものの、物理的定義は、常に後付です。物理は常に、こう考えたらうまく現象が説明できるだろうという、その時点でもっとも確からしい仮説群に過ぎません。ですからvをかけた瞬間、運動方程式しか解明されていない段階で、意味を求めることなど、できるわけがない。

>つまり、式変形の過程で出てくる任意の項に意味が求められ、別途吟味される必要があるのですか?

まったく違います。導出した式は正しい。だとすれば、運動方程式とは別の普遍的な原理から、何かが一定・・・と考えられるのではないか?そういう、試行錯誤で、物理が出来上がっているということです。

エネルギー保存則は、この世を司る普遍的原理として、理由はない、たんなる経験則ですが、例外がみつかっておらず正しいとされています。この例でいえば、運動エネルギーと位置エネルギーを計算して、その総和が保存されるという考え方をすれば、運動方程式が解けない場面においても、それが正しいとして現象が記述できるか?ということなります。

別の例を出しましょう。相対性理論のローレンツ変換ですが、

1. マクスウェルの方程式が、ガリレイ変換だと形が変わってしまう。
2.それを普遍にするには、辻褄あわせが必要だとわかった。
3.その式はすぐにわかったが、その意味がだれにもわからなかった。
4.アインシュタインは、特殊相対性原理と光速度不変の原理だけから、マクスエルの方程式に関わらず、2の数式を導いた。
5. それを特殊相対性理論といい、2に敬意表してそれをローレンツ変換と言う。

そのローレンツ変換を解釈すれば、時間や空間の伸び縮みが体系立てて記述できる。これこそが、我々の住む世界で起きていることだ!!こんな感じです。数式のつじつま合わせと、その根本にある原理と普遍化は、物理学の定番の流れであり、つねに行われていることです。
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違った観点から改めて少し。



数式Pから数式Qが導き出せる場合、PとQは同値です。すなわちPが正しければQも正しいし、逆もまた然りと言う事になります。必要条件の変形云々と言った「小難しい考え」は必要ありません。素直に考えればいいだけです。

そして学校でも勉強したニュートン力学の体系を数学的に表現すれば「運動の三法則(慣性の法則等)を公理として採用した公理系」と言う事になります。つまり運動方程式が公理で力学的エネルギー保存則は定理と言う事になります。数学の公理系の場合は公理間に矛盾が生じない等の条件さえ満たせばある意味「好き勝手に決めていい」と言う事になります。例えば幾何学で言えば、いわゆる平行線の公理を認めた公理系による幾何学がユークリッド幾何学で、それを認めない公理系による幾何学が非ユークリッド幾何学です。しかしながらニュートン力学のように物理法則を表すものの場合、公理に当たる命題が正しいかどうかは観測や実験によって確認する必要があります(この過程は数学には存在しません)。そして定理である力学的エネルギー保存則が正しいかどうかについても基本的には実験等で確かめないといけません。そして万一力学的エネルギー保存則が成り立っていない事か明らかになったとしたら、公理に当たる運動方程式も(少なくとも厳密な意味では)正しくなかったと言う結論になります。
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そんなオーバーな話じゃないって。



1.運動方程式が正しい。
2. その正しさを示す実験結果はある。
3. 運動方程式と、力学的エネルギー保存の式は同等。
4. ならば、力学的エネルギーの式の正しさは2で確認される。

ってだけのことです。

かけたものに、何らかの意味があるのか?
それが普遍的か?

はその通りで、実際には、この式は、この世のすべての事象を司る、エネルギー保存則の、ニュートン力学的表現である・・・となるには、もう1考察必要ですが、その話と、質問の例は、まったく無関係です。
この回答への補足あり
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ちなみに力学的エネルギー保存則自体は後述するように運動方程式を根拠として純粋に数学的な手順で導き出す事ができます。

ただしそれはあくまでも数学的な手続きで導き出しただけであって、本当にその法則が成り立つかどうかは観測や実験で確かめなければいけません。そして万一(成り立つはずの条件にも関わらず)力学的エネルギー保存則が成り立っていないとすれば、それはとりもなおさず「運動方程式が正しくない(少なくとも厳密な意味では)」と言う事になります。

(落下した物体が着地して止まる場合のように力学的エネルギーが他の形態のエネルギーに変化する時には力学的エネルギー保存則は当然成り立ちません)

まず運動方程式を

md^2s/dt^2=F

と書く事にします(質量mは一定とします)。そして両辺に速度すなわちds/dtをかけてから時間で積分すると、まず左辺は

m∫(d^2s/dt^2)(ds/dt)dt

部分積分の公式

∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx

より

∫(ds/dt)'(ds/dt)dt

=(ds/dt)^2-∫(ds/dt)(ds/dt)'dt

なお表記を簡潔にするため

ds^2/dt^2≡(ds/dt)'

と書き直しました。そしてこの式から

∫(ds/dt)'(ds/dt)dt=(1/2)(ds/dt)^2

∴m∫(ds/dt)'(ds/dt)dt=(m/2)(ds/dt)^2

一方右辺は

∫F(ds/dt)dt=∫Fds

時間によらない関数U(x,y,z)を積分定数扱いにし、そしてこれをポテンシャルと解釈すると、全エネルギーをEとすれば

E=(m/2)(ds/dt)^2+U

こうして運動方程式から力学的エネルギー保存則が導き出せました。
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>導出される定理ということですね,


●そうです。

なお、法則について。
・法則、原理、仮定、これらはみな同じで、他から導出
できないものです。

・法則は実証できません。矛盾しないことを確認できる
だけです。

・だから法則が正しいかはわかりません。ただ、これと
矛盾する現象が無いことや、これから得られる結果に矛
盾がないことが必要です。
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>また、定理は、他のすでに正しいと認められてる法則などから導出された時点で必ず成立するが、法則は実験などで実証されてはじめて成立が認められる、という考えになりますか?



この意味がわかりません。
他のすでに認められている実験結果は、そのまま導出された定理の実験結果そのものですよね。なので、すでに実験で確認されているということです。
この回答への補足あり
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maの次元はgm/s²


mavの次元はgm²/s

物理は実際の自然現象を扱う学問である。
数学と違い、数式は必ず現象を表していなければならない。
(端的にいえば、物理の数式とは自然現象の一般化である)
vをかけるなら「加速度に速度をかけるとはどういう状態か」「その次元はどういう現象を意味するか」を説明できなければならない。

池内了著『これだけは知っておきたい 物理学の原理と法則』によれば、物理学における「原理」「法則」「定理」とは次のごとくである。

原理:誰にとっても正しいと思われる言明だが直接の証明は不可能
法則:原理から導かれるもので数式により表現される。直接の証明はやはり不可能
定理:法則から導かれるもので、法則の正しさを認めれば、それから導かれる関係を用いて証明可能
この回答への補足あり
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運動方程式と、導かれた力学的エネルギー保存の式は、まったく同じ式です。

したがって、同じ実験結果で検証されます。それだけのことです。

エネルギー保存の法則は、この世をつかさどる、根本的な原理の一つであり、いまのところ、正しいとされ、例外なく成立しています。
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意味不明ですが。



>①が成立するために、少なくとも必要な条件式=新しい法則が導けると思うのですが<
●そこで、導かれた関係式は法則でなく、定理です。ただ、
この定理の「力学的」という制限を取り除いて、証明無に一
般化したエネルギー保存則は「法則」と言えます。

一般に法則・定理から証明できない命題は「法則」です。
ただ、後に、より一般化された法則から導かれて「定理」と
なっても慣習として「法則」と呼ばれるものがあります(キル
ヒホッフの電圧・電流則など)。
この回答への補足あり
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