1/{x^2(x+1)^2}の部分分数分解

[A]
　　1/{z^2(z+1)^2} = (a/z) + (b/z^2) + {c/(z+1)} + {d/(z+1)^2}
ではうまくいきます。

[B]
　一般論として、
　　1/{P(x)Q(x)} を A/P(x) + B/Q(x)
の形に分解する場合、AはP(x)より次数が1小さい多項式、BはQ(x)より次数が1小さい多項式とすればいいと考え
　　1/{x^2(x+1)^2} = (ax+b)/x^2 + (cx+d)/(x+1)^2
　　　　　　　　　 = a/x + b/x^2 + (cx+d)/(x+1)^2

としたのですが、結果はおかしいです。なぜでしょうか？

　　1 = ax + b(x+1)^2 + (cx+d)x^2

　　x = 0 ⇒ 1 = b
　　x = -1 ⇒ 1 = - a - c + d　 ……①
　　x = 1　⇒ 1 = a + 4 + c + d ……②
　　①+②
　　2 = 4 + 2d　∴d = -1
　　x = -1/2 ⇒
　　1 = -a/2 + 1/4 + (-c/2-1)/4
　　　= -a/2 + 1/4 - c/8 - 1/4
　　8 = -4a - c
　　c = -4a - 8
　①より
　　1 = - a - c + d
　　　= - a - (-4a-8) - 1
　　　= 3a - 7
　　a = -2
　　c = -4a - 8 = 0

　この結果を ax + b(x+1)^2 + (cx+d)x^2 に代入しても

　　1/{x^2(x+1)^2} ≠ -2/z + 1/z^2 - 1/(z+1)^2

No.1 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/11/10 09:34

>　1 = ax + b(x+1)^2 + (cx+d)x^2

ここはなぜ ax にしたのですか？

この回答へのお礼

ああ、そうか！
お手数をおかけしました。

お礼日時：2023/11/10 09:48