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M={(x,y)∈R^2|y=x^2}がc∞級多様体であることを示せという問題の証明方法が知りたいです。

A 回答 (3件)

M={(x,y)∈R^2|y=x^2}



f:M→R
(x,x^2)∈M→f(x,x^2)=x
とすると

fは同相写像になることを証明すればよい

fは全単射写像で
fは連続で
逆写像
f^(-1)も連続

である事を証明すれば
fは同相写像になることを証明したことになり
MとRは同相になることを証明したことになり
MはC∞級多様体であることを証明したことになる
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M={(x,y)∈R^2|y=x^2}



f:M→R
(x,x^2)∈M→f(x,x^2)=x
とすると

fは同相写像になるから

MとRは同相だから

Mはc∞級多様体である
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具体的にひとつ地図帳を作ってみればよいでしょ。


φ:M→R;(x,x^2)→x を唯一の地図とする地図帳は、
M上の実一次C^∞級の地図帳になっていますよね。
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