円周と直線(問題でいうPQ)の最小値についてですが、赤枠に書かれている条件を満たすときに距離が最小値

円周と直線(問題でいうPQ)の最小値についてですが、赤枠に書かれている条件を満たすときに距離が最小値となるのは当然のことだと思いますが、もしよろしければ、赤枠のことを理論的な説明？
や証明をおねがいします。

写真: https://d.kuku.lu/edgs84ctv

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/15 10:49

与えられた円周上の点の座標は1個の実数aをパラメータとする式（いろいろやりようはある）で表せるし、与えられた直線上の点の座標も1個の実数bをパラメータとする式（いろいろやりようはある）で表せる。

だから、両者の距離は2個の実数をパラメータとする式f(a,b)で表される。
　そこで、まずはf(a,b)を（もちろん、いろいろやりようはあるが、ひとつ決めて）具体的に書き下す。次に、このf(a,b)が最小値になるようなa, bはいくらか、という問題を解く。そして、「赤枠に書かれている条件」を満たすことと、「f(a,b)が最小値になるようなa, b」とが一致することを示す。
というふうにやればいいんです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/11/14 21:12

「図を見れば明らか」ということを論理的に説明する？

そのぐらい、自分で考えてみたらどうですか？
説明の仕方はいくつもあるでしょうから。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。「この直線を円と接するように平行移動したら、確かに成り立つ」や「補助線や垂線を引っ張ってみると明らかにそう」などというのは思いついたのですが、これらは全て「視覚的にそうだよね」と示しているだけだと思います。僕的には三平方や三角比などを使って数値や式的に成り立つことを示したいと思ったのですが、どうやれば示せるかわからなかったので、質問させていただきました。

お礼日時：2023/11/14 21:20