積の微分 ライプニッツの公式

2.10に当てはめると2.23の右辺になる意味がわかりません

質問者からの補足コメント

• すみませんがlim[Δt→0] (x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t+Δt))/Δt + (x(t)y(t+Δt) - x(t)y(t))/Δt　ここの
  
  - x(t)y(t+Δt) と+ (x(t)y(t+Δt) がどうして導かれたのか思いつかないです

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/19 17:32

• 式全体ではなく端的になぜその二つの数値を使ってるのか　そのぽっとでの数値が何なのかって話です

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/19 19:58

• 慣例っぽいらしいですね

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/11/19 22:01

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 16:31

2.10 って、どの式のことじゃい？

右の写真の dx/dt = lim[Δt→0] (x(t+Δt) - x(t))/Δt のことかいな？

もし、そうであれば、2.23 の導出は
(d/dx)(x(t)y(t)) = lim[Δt→0] (x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t))/Δt
= lim[Δt→0] (x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t+Δt))/Δt + (x(t)y(t+Δt) - x(t)y(t))/Δt
= { lim[Δt→0] (x(t+Δt) - x(t))/Δt }{ lim[Δt→0] y(t+Δt) } + x(t){ lim[Δt→0] y(t+Δt) - y(t))/Δt }
= { dx/dt }y(t) + x(t){ dy/dt }.

このように lim を分割してよい根拠は、
lim[h→0] a(t) と lim[h→0] b(t) が収束するとき
lim[h→0] (a(t)b(t)) も収束して
lim[h→0] (a(t)b(t)) = { lim[h→0] a(t) }{ lim[h→0] b(t) }
が成り立つことによる。

この辺の説明は、高校の微積分の教科書の
はじめのほうに書いてある。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 17:39

＞ - x(t)y(t+Δt) と + x(t)y(t+Δt) がどうして導かれたのか思いつかないです

「導かれた」って考え方をするから、解らないのかもしれません。
どこかから必然的に導かれるようなものではなく、思いついて
x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t+Δt) + 0
= x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t+Δt) + { - x(t)y(t+Δt) + x(t)y(t+Δt) }
= { x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t+Δt) } - { x(t)y(t+Δt) - x(t)y(t+Δt) }
を Δt で割れば、
No.1 のように計算できて便利でしょ？ という話ですよ。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 20:59

＞ なぜその二つの数値を使ってるのか

(x(t+Δt)y(t+Δt) - x(t)y(t))/Δt
= { (x(t+Δt) - x(t))/Δt } y(t+Δt) + x(t){ y(t+Δt) - y(t))/Δt }
と変形できるとウレシクて、
- x(t)y(t+Δt) + x(t)y(t+Δt) = 0 であることが
そのためのシカケとして使えるからですよ。

結果論です。
「導かれた」って考え方はするな って言ってます。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/19 22:20

「慣例」って何や？

慣例で等式が成立するなら、
みんなして同じ間違いをしつづけたら
そっちが正しくなるんか？
数学って、そういうもんとちゃう。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/11/24 17:19

(d/dt){x(t)y(t)}=(dx/dt)y(t)+x(t)(dy/dt)