隣接3項間漸化式を解こうとしているのですが、私のやり方のどこがまずいのか教えてください

（問題と私の解答です）https://75.gigafile.nu/1215-b3364c9953be14178a99 …

上席に則って二次方程式を解いて２つ式を作っているのですが、答えが合わない原因を知りたいです...

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/11 17:15

最初の1行目が間違っているから答えが合うはずはない

a(1)=0
a(2)=1
a(n+2)=(1/4)(a(n+1)+3a(n))
↓両辺にa(n+1)を加えると
a(n+2)+a(n+1)=(5/4)a(n+1)+(3/4)a(n)
だから
1行目の
a(n+2)+a(n+1)=(3/4)(a(n+1)+a(n))にはならない間違っている

a(n+2)=(1/4)(a(n+1)+3a(n))
↓両辺からa(n+1)を引くと
a(n+2)-a(n+1)=(-3/4)a(n+1)+(3/4)a(n)
∴
a(n+2)-a(n+1)=(-3/4){a(n+1)-a(n)}

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/10 09:36

いろいろ間違ってるね。

No.1 が指摘してるように、固有値も間違っているが、
そこを修正したとしても、その後
初期値を意識してないとこも間違ってる。

b[n+1] = (-3/4)b[n] からは、
b[n] = (-3/4)^(n-1) ではなく
b[n] = b[1]・(-3/4)^(n-1) が出る。

c[n+1] = 1・c[n] から
c[n+1] = c[1]・1^(n-1) も同様。

こうして得られた
a[n+1] - 1・a[n] = (a[2] - 1・a[1])・(-3/4)^(n-1),
a[n+1] - (-3/4)a[n] = a[2] - (-3/4)a[1]
を引き算して、
(-1 - 3/4)a[n] = (a[2] - 1・a[1])・(-3/4)^(n-1) - (a[2] + (3/4)a[1])
が出る。

あなたの答案↓

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/10 05:57

a(1)=0

a(2)=1
a(n+2)=(1/4)(a(n+1)+3a(n))
↓両辺にa(n+1)を加えると
a(n+2)+a(n+1)=(5/4)a(n+1)+(1/4)a(n)
だから
1行目の
a(n+2)+a(n+1)=(3/4)(a(n+1)+a(n))にはならない間違っている