電気回路の問題がわかりません、教えてください。

100Vの電源に1kΩの抵抗と可変抵抗Rとが直列に接続されている。可変抵抗Rでの消費電力を最大にするにはRの値をいくらにするとよいか。そのときの消費電力はいくらか。

という問題なのですが、学校では、微分を使って求めるやり方と、使わないやり方、2種類でやっていました。
どちらか片一方のやり方でいいので、答えだけでなく、解き方と一緒に教えてください！

No.4 ベストアンサー 回答者： m_abe 回答日時： 2005/05/07 00:57

>微分を使うやり方を読んだところなんですが、消費電力を求めるのはわかったのですが、可変抵抗がなぜ1kΩになるのかがよくわかりません。

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横軸が可変抵抗Rの値で、縦軸が可変抵抗Rの消費電力になります。
可変抵抗Rの消費電力が最大になるのは、このグラフのお山のてっぺんになります。
次に、てっぺんは傾きが０であることに着目してください。
この傾きというのは、数学で言うところの微分になります。

No.3さんの回答から引用すると

R<rのとき　dP/dR > 0
R=rのとき　dP/dR = 0
R>rのとき　dP/dR < 0

傾き０というのは、真ん中のR=rのときになります。
ここで、Rは可変抵抗の値、rは電源につながっている1kΩの抵抗なので、可変抵抗は1kΩになります。

まあ、この問題は、数学の問題ではなく、電気回路の問題なので、感覚的に理解していただければ、それでよいと思います。

No.3 回答者： Umada 回答日時： 2005/05/04 20:48

実際に計算してみましょう。

電源の電圧をV、直列につながっている抵抗をr、可変抵抗の値をRとします(数字は後で代入します)。

回路に流れる電流Iは、オームの法則から　I = V/(R+r)　　　(1)
可変抵抗で消費される電力Pは　P = I^2 R = R {V/(R+r)}^2　　　(2)

1. 微分を使うやり方
PをRで微分します。
dP/dR
= {V/(R+r)}^2 - (2R V^2)/(R+r)^3
= v^2 {(R+r)-2R}/(R+r)^3
= v^2 (r-R)/(R+r)^3　　　(3)

R<rのとき　dP/dR > 0
R=rのとき　dP/dR = 0
R>rのとき　dP/dR < 0
よって、R=rのときPは最大値をとります。
その時の可変抵抗での消費電力は　R {V/(R+r)}^2 = R {V/2R}^2 = V^2 /4R
ここで題意の数字を代入すれば、可変抵抗での消費電力は
100×100÷(4×1000) = 2.5 W
と求められます。

2. 微分を使わないやり方
P = R {V/(R+r)}^2　　　(2)
をまず
P (R+r)^2 = R V^2　　　(4)
と変形します。さらに展開して
P R^2 +2PRr + P r^2 = R V^2
P R^2 + (2Pr-V^2)R + P r^2 = 0　　　(5)
(5)式を「Rについての2次方程式」と考えます。
そして問題を「Rが実数となる最大のPはいくつか」と置き換えます。
いうまでもなく判別式Dで考えれば良いわけです。
D = (2Pr-V^2)^2 - 4 P^2 r^2　　　(6)
です。D≧0とおいて
(2Pr-V^2)^2 - 4 P^2 r^2 ≧0
(2Pr-V^2)^2 ≧ 4 P^2 r^2　　　(7)
左辺(2Pr-V^2)の正負で場合分けをして、両辺の平方根を取ります。
(a) 2Pr - V^2 ≧ 2Pr　　(2Pr - V^2が正のとき)
(b) - 2Pr + V^2 ≧ 2Pr　　(2Pr - V^2が負のとき)
このうち(a)は
- V^2 ≧0　　　(8)
となるので、(5)を満たすPは出てこないことが分かります。
(b)は
- 2Pr + V^2 ≧ 2Pr
V^2 ≧ 4Pr　　　(9)
すなわちP≦(V^2)/4rであれば、(5)を満たす実数解Rが存在することになります。
(このとき、2Pr - V^2は負という条件を満たしていることに注意)
Pがとりうる最大の値はP = (V^2)/4rで、数字を代入すればやはり
100×100÷(4×1000) = 2.5 W
と求められます。
このときのRの値ですが、(2)にP=(V^2)/4rを代入すれば
(V^2)/4r = R {V/(R+r)}^2
1/4r = R/(R+r)^2
(R+r)^2 = 4Rr
(R-r)^2 =0　　　(10)
ですから、R=rと求められます。当然ですがこの方法でも1 kΩになります。

微分を使わない方が大変でしたね。
計算ミスがあるかも知れませんので、検算しながら読んでいただけると幸いです。

この回答への補足

すごく丁寧にありがとうございます
微分を使うやり方を読んだところなんですが、消費電力を求めるのはわかったのですが、可変抵抗がなぜ1kΩになるのかがよくわかりません。；；

補足日時：2005/05/04 21:31

No.2 回答者： m_abe 回答日時： 2005/05/04 19:26

答えは、1kΩではないでしょうか？

これは、計算云々では無く、出力インピーダンス（この場合は問いの1kΩの抵抗）と負荷抵抗（この場合は問いの可変抵抗R）が等しい場合、負荷抵抗の消費電力は最大になるという電気の常識で答えられるのですが、これでは、まずいでしょうか？
問題の出し方が、よくないかもしれませんね。

消費電力は
可変抵抗Rが1kΩなので、その両端にかかる電圧は、100Vの半分の50V、
P=V*V/R
より
P=50*50/1000
　=2500/1000
　=2.5［W］
でしょうか？

No.1 回答者： Josquin 回答日時： 2005/05/04 18:47

合成抵抗は r=1000+R なので、

電流は I=V/R=100/(1000+R) です。
したがって、Rでの電力は W＝RI^2＝10000R/(1000＋R)^2
これの最大値は・・・微分してやれば求まるはずです。