収束性の問題です。優級数定理を使いたいのですが、うまくいきません。どうかご教授ください。 次の関数項

収束性の問題です。優級数定理を使いたいのですが、うまくいきません。どうかご教授ください。

次の関数項級数の区間 I 上の収束性を調べよ。
Σ[n=1,∞] nx/{1+(n^2)(x^2)} I=[0,1]

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/14 16:36

あ、間違えた。

0 < x < 1 のとき
nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } < nx/{ 1 + (n^2)(0^2) }
でしたね。これはいかん。

0 < x < 1 のとき
Σ[n=1,∞] nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } > Σ[n=1,∞] nx/{ 1 + (n^2)(1^2) }
　　　　　　　　　　　　　　= ｘ Σ[n=1,∞] n/(1 + n^2),
Σ[n=1,∞] n/(1 + n^2) > Σ[n=1,∞] n/(n + n^2)
　　　　　　　　　　= Σ[n=1,∞] 1/(1 + n).
よって劣級数発散定理より、問題の級数は発散します。

Σ[n=1,∞] 1/(1 + n) は、有名は調和級数だけど、
これも証明が必要かな？
2^(k-1) < n+1 ≦ 2^k のとき
1/(1 + n) ≧ １/2^k が成り立つので、
N ≧ 2^m のとき
Σ[n=1,N] 1/(1 + n) > Σ[n=1,2^m-1] 1/(1 + n)
　　　　　　　　　= Σ[k=1,m] Σ[n=2^(k-1),2^k-1] 1/(1 + n)
　　　　　　　　　≧ Σ[k=1,m] Σ[n=2^(k-1),2^k-1] １/2^k
　　　　　　　　　= Σ[k=1,m] (１/2^k) Σ[n=2^(k-1),2^k-1] 1
　　　　　　　　　= Σ[k=1,m] (１/2^k) { (2^k-1) - 2^(k-1) + 1 }
　　　　　　　　　= Σ[k=1,m] １/2
　　　　　　　　　= (１/2)m.
ここで m→∞ とすると、N→∞なので
劣級数発散定理より、Σ[n=1,∞] 1/(1 + n) は +∞ 発散。

この回答へのお礼

丁寧な解答ありがとうございます。

お礼日時：2023/12/14 16:37

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/14 16:39

あと、前の質問はどうなったの？

この回答へのお礼

解答者さんとは違うやり方ですが、自力で解くことができました。2題に亘ってご教授いただきありがとうございます。

お礼日時：2023/12/14 16:44

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/14 15:41

あれ？ 違う質問に答えてた。

あの質問はどうなったんだろう？
今回の質問については...

0 < x < 1 のとき、
nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } > nx/{ 1 + (n^2)(0^2) }
　　　　　　　　　= ｎx.
x > 0 のとき Σ[n=1,∞] nx は +∞ 発散しますから、
劣級数発散定理より、問題の級数は発散します。

優級数収束定理と劣級数発散定理を合わせて、広義的に
優級数定理って言ってしまう場合もありますが、そういうのってどうなんでしょう...

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。確かに、級数の収束、発散の時に応じて優級数定理の言い方は変えるべきですね。あと、一つ気になったのですが、0<x<1のとき、nx/{ 1 + (n^2)(x^2) } >ｎxは本当に言えるでしょうか。不等号の向きが逆な気がします。

お礼日時：2023/12/14 16:36

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/14 15:29

f(x) = Σ[n=1,∞] (n^2)(x^n + x^-n)/√(n!) の収束性ですね。

まずは、 g(x) = Σ[n=1,∞] (n^2)(x^n)/√(n!) の収束性を考えてみましょう。
ダランベールの判定法によって、
g(x) の収束半径は lim[n→∞] { (n^2)/√(n!) }/{ ( (n+1)^2 )/√( (n+1)! ) }
= lim[n→∞] { √(n+1) }/{ (1 + 1/ｎ)^2 } = +∞ です。

ということは、x ≠ 0 において f(x) = g(x) + g(1/x) も収束します。