3次以上の方程式のグラフを書く際に微分して因数分解して増減表の材料を準備する段階で、因数分解できない

3次以上の方程式のグラフを書く際に微分して因数分解して増減表の材料を準備する段階で、因数分解できない(実数に解がない)方程式が出てきた場合は増減表はどうやって書けばいいんですか？

質問者からの補足コメント

• 僕が今解いてる問題は
  f'(x)=12x³-24x²+36x
  になってて、
  12x(x²-2x+3)
  まではできるんですが、右のx²-2x+3が因数分解出来なくて困ってます。
  回答は写真みたいに増減表でx=0でそれ以上とそれ以下について色々書いているんですが、右のx²-2x+3はどこいっちゃったのってとこが疑問です。
  なんかあんままとまってなくてすいません。

  
    補足日時：2023/12/17 14:12

• 僕が今解いてる問題は
  
  任意の実数xに対して、
  不等式3x⁴+1＞8x³-18x²
  が成り立つことを証明せよ。
  
  って問題でそのために左辺-右辺＞0になることを証明したくて、
  f(x)=3x⁴-8x³+18x²+1
  として、
  f'(x)=12x³-24x²+36x=12x(x²-2x+3)
  って所まではいったんですけど、この右の部分は因数分解できないから、どうやって増減表を作ればいいんだとなっている状態です。解答では増減表はx=0って書いてそれ以上とそれ以下について色々書いているんですが、x²-2x+3はどこいったんですかね？

    補足日時：2023/12/17 14:18

No.6 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/17 14:35

12x(x²-２x+３)

これは、12xと(x²-２x+３)因数分解できててますよね
だから、私の解説と異なるわけです
でx²-２x+３は因数分解できませんから、先ほど書いたとおり
x²-２x+３は常にプラスまたは常にマイナスです(何ならx²-２x+３を微分して増減表書いて確かめても構いません)
で、今回はx²-２x+３部分は常にプラスです
ということは、ｆ'(x)の符号は12x部分と一致→１２x部分だけ見ていれば良いということです
１２xをみてx＜0でｆ'(x)はマイナス
x＝０でｆ'(x)は０
０＜xでｆ'(x)はプラス
ですから
ｆ(x)はx＝０で極小
となります

この回答へのお礼

なるほど！！めちゃくちゃ納得しました。質問おかしくてすいませんでした。
回答ありがとうございます！！

お礼日時：2023/12/17 14:38

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2023/12/17 14:42

各項の係数が 実数ならば、

偶数次の方程式では 実数解がない場合もありますが、
奇数次の方程式は 必ず 1つ以上の 実数解がある筈です。
そして 一次導関数=0 は 必ず 実数解があると思います.
具体的に f'(x)=0 に実数解がない場合って どんな式ですか。

この回答へのお礼

補足とその後のみなさんの回答を見て頂けばわかるのですが、僕の聞き方がおかしかったようです。回答ありがとうございます！

お礼日時：2023/12/17 14:45

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/17 14:32

因数分解してもいいけど

x^2-2x+3 = (x-1)^2+2
に気付いてほしいかな.

この回答へのお礼

(x-1)²+2は絶対正になるから12xの正負だけを議論すればいいねって話なのか…なるほどありがとうございます！

お礼日時：2023/12/17 14:35

No.4 回答者： goorev 回答日時： 2023/12/17 14:26

簡単じゃん

４次関数だから、一階微分=0となる点が
全部>0だったら証明完了になる

x^2-2x+3
は二次関数だから高校程度の蟹の公式で
因数分解ができる

簡単ですよコレ
落としたら国立大学は無理レベルです

この回答へのお礼

みなさんのおかげで簡単になりそうです笑
同じような問題が出ても絶対落とさないようにがんばります。回答ありがとうございます！

お礼日時：2023/12/17 14:42

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/12/17 13:47

ｆ'(x)が因数分解できないなら

ｆ'(x)が０になるところがない
即ち、極値がない
ｆ'(x)がプラスのままでマイナスになるところがない(または、マイナスのままプラスになるところがない)
ｆ(x)が単調増加または単調減少のグラフということだと思います。

で、確実にいきたいなら
ｆ'(x)＝g(x)とおいて
ｆのことは一旦忘れて
微分などしてg(x)の増減表を書き
g(x)様子(g(x)のグラフ)を調べることです
もし、g(x)＝０になるところがあるなら
それはつまりｆ'(x)＝０になるところがあるということ
その前後でg(x)の符号が変わるなら
ｆ'(x)の符号が変わるということだから、g(x)＝０となるx
つまりｆ'(x)＝０となるxで
ｆ(x)は極値をとる
このような要領です

この回答へのお礼

今問われてる関数をソフトでグラフにしてみたんですが、単調増加、単調減少ではありませんでした…
f'(x)=g(x)っておいてg'(x)求めようとしたんですけどやっぱり途中で因数分解出来なくなります。
僕の質問が言葉足らずだったかもしれないので、今補足に問題載せちゃいました。質問がおかしかったらすいません。
ともかく、めっちゃ丁寧な回答ありがとうございます！！

お礼日時：2023/12/17 14:21

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/12/17 13:47

本当に「実数解が存在しない」なら定符号になるよね. で例えば導関数が定符号だったらグラフはどうなると思う?

この回答へのお礼

符号の変化がないということは極値がないということですね。だからグラフは単調増加または単調減少になるということか…
回答ありがとうございます！

お礼日時：2023/12/17 14:08

No.1 回答者： goorev 回答日時： 2023/12/17 13:03

三次方程式って確か蟹の公式があるので

確実に実数解が出るはずですが
捻くれ者でもない限り
綺麗に3とか4みたいな実数解で
因数分解できると思います（感想文）

この回答へのお礼

できて欲しいんですけどねー
僕が出会った問題はひねくれ問題のようです
回答ありがとうございますー

お礼日時：2023/12/17 13:09