長さ2lの棒を滑らかな床に鉛直となす角θで置き、静かに離すという問題で、yの設定値に疑問

長さ2lの棒(質量M)を滑らかな床に鉛直となす角θで置き、静かに離したときの、角加速度と抗力を求める問題で、運動方程式(縦軸をyとする)が
M｛(d^2y)/(dt)^2)｝=N-Mg
となります。
そこで、回答では移動距離となるはずのyがy=lcosθとしてあって、そこがどうもよくわかりません。
重心の移動距離はy=l(1-cosθ)となるはずじゃないですか？

y=lcosθだとしたら、棒が倒れていきθが大きくなるほど移動距離は減ってしまいますよね？
どうしてこの値が設定されてるのか教えてください。お願いします。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/20 07:57

運動方程式の右辺から、y軸は鉛直上方向が正の筈。

y軸の原点を床の位置とすると
y=lcosθ
ということなのでしょう。シンプルな設定です。

y=l(1-cosθ)

ではy軸の原点はθ=0の時の重心位置でy軸の向きは鉛直下向きで
運動方程式と矛盾します。

それに、重心の初期位置はθ=0じゃないから l(1-cosθ)は移動距離じゃないし
変位は初期位置からの移動距離である必要も無いです。

いろいろこじらせているみたいですね。
座標軸の取り方になにが必要で何が不要なのか
よく考えてみましょう。

向きも原点も自由に変えてよいし
運動方程式もそれに合わせ変えてよいのです。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/01/15 22:48

あなたが指摘していることは結局

棒の傾きが鉛直に対してθのときの重心の鉛直方向の位置が
棒が直立しているときの重心の位置Oにたいして
l(1-cosθ)下方にあるということなんだけど、
M｛(d^2y)/(dt)^2)｝=N-Mgで出てくる加速度は
y軸の正の向きが上向きとした時のものだから
重心のy座標はｙ＝－l(1-cosθ)としなければいけません。
y=lcosθ　というのは原点を床上に置いたときの重心のy座標です。
ｙ＝－l(1-cosθ)とy=lcosθは定数の差しかないので
時間微分したものはまったく同じになるから
重心の速度、加速度とその回りの棒の角速度、角加速度との関係は
原点をどちらに置いた座標系でも
まったく同じものになります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/15 11:49

yは移動距離でなくて

位置とか、変位を意味しますよ
そこをお間違いなく
床面を原点として
原点から鉛直上向きにy軸を設定する
重心付近に水平な光線をあてて
y軸に映った重心の影の位置が
y＝Lcosθ
です。
そして、距離の微分ではなくて
位置(y)を時間で微分したもの(dy/dt)が速度、
もう一回微分したもの(d²y/dt²)が加速度と言う事になります

次に後半の疑問について、
θが一定の率で変化するときと
θの変化率が一定でないときの
重心の移動速度はそれぞれどうなりますでしょうか…考えてみてください

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/15 09:41

No.1 です。

失礼、「棒の長さが 2L」なら、壁との接点の座標の y 座標（床からの高さ）は「2Lcosθ」ですね。
「Lcosθ」は「棒の重心位置の y 座標（床からの高さ）」、もしくは「壁との接点の棒の重心位置からの高さ」ということになります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/01/15 09:30

＞移動距離となるはずのyがy=lcosθとしてあって

「移動距離」ではなくて、床の高さを y=0 とした棒と壁の接点の「y 座標」（高さ）なのでは？

そうすれば、棒が倒れて行きθが大きくなるほど「高さ」が減ります。