{f(θ)}''= -νf(θ) という微分方程式で、f(θ)=f(θ+2π)という周期関数の時、ν

{f(θ)}''= -νf(θ)

という微分方程式で、f(θ)=f(θ+2π)という周期関数の時、ν=m^2>0であり、mは整数。と言えますか？

ここまでの過程で色々背景があるので、これだけでは分からない場合はそのように教えて下さい。

今回の条件だけで、分かる場合はなぜこれが成立するか教えて頂きたいです。

質問者からの補足コメント

• {f(θ)}''はf(θ)のθでの2階微分です。

    補足日時：2024/02/03 20:10

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2024/02/04 15:02

>f(θ)≠0という条件であれば、教えて下さった証明通り今回の命題は満たすという認識で良いでしょうか？

ν=0の時にf(θ)=A(≠0) という解があるのでν>0が成り立つとは限りません。

ν=m^2>0をν=m^2≧0としたものは成り立ちます。

この回答へのお礼

提示した情報が少ない中でありがとうございます。
とても助かりました。

お礼日時：2024/02/04 15:48

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/03 20:39

あー、しまった。

No.1 の言うとおりだ。

この回答へのお礼

f(θ)≠0という条件であれば、教えて下さった証明通り今回の命題は満たすという認識で良いでしょうか？

お礼日時：2024/02/04 09:09

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/03 20:38

(d/dθ)^2 f(θ) = -ν f(θ) は、斉次線型微分方程式ですから、

初等関数で明示的に解くことができます。
一般解は、ν=0 のとき f(θ) = A + Bθ (A,B は定数),
ν≠0 のとき λ^2 = -ν のふたつの解を λ = α, β として
f(θ) = A e^(αθ) + B e^(βθ) (A,B は定数) です。

前提として ν が実数に限られるのであれば...

ν > 0 のとき：
λ = ±i√ν となるので、
f(θ) = A e^(i (√ν)θ) + B e^(-i (√ν)θ)
= A{ cos((√ν)θ) + i sin((√ν)θ)} + B{ cos((√ν)θ) - i sin((√ν)θ)}
= C cos((√ν)θ) + D sin((√ν)θ).
(C,D は定数. C=(A+B), D=i(A-B))
この f(θ) は基本周期 2π/√ν を持ちますから、
周期 2π を持つ条件は √ν が整数であることです。

ν = 0 のとき：
f(θ) = A + Bθ であり、
この f(θ) は周期関数ではありません。

ν < 0 のとき：
λ = α, β = ±√｜ν｜ となり、α, β は実数です。
f(θ) = A e^(αθ) + B e^(βθ) は周期関数ではありません。

以上をまとめると、
f(θ) が周期 2π を持つのは ν = -m^2 (mは整数) のときのみ
ということになります。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2024/02/03 20:31

お書きの条件だけでは言えません。

任意のνについて、f(θ)=0という解があります。