暗闇で２人が出会うには両方動いたほうが良いか、片方止まっていたほうが良いか

Question

真っ暗な体育館のようなところで２人が音が聞こえないようにして　出会う実験をする
そのとき　二人とも暗闇を手探りでバラバラに動く場合
一人はじっとしていて　片方だけが動いて探す場合
どちらが遭遇率が高いのでしょうか？数学的に記述できますか？
箱の中に２つのビー玉を入れて2つ転がす、１つ固定して一つだけ転がすような実験です。
どちらが衝突する機会が多いか。

kamiyasiro · Accepted Answer

No.4です。

ランダムウォーク・シミュレーションで出てきた数字って、あるマス目を選ぶ確率である1／25^2＝0.0016 によって決まっているのではないかと思います。

No.4では、シミュレーションが50000回だから、その発生度数は、
50000×0.0016＝80
というように、80前後の値になるのではないかしら。

①最初に決めたマス目を、ターゲットとしようが、
②相手が今いるマス目を、ターゲットとしようが、

自分がそこに存在できる確率は同じなのではないでしょうか。

eatern27 · Answer

例えばマリオカートをご存知であれば、

直線コースを真っ直ぐ走っているとして、
•緑甲羅がコース上に静止している時
•緑甲羅がコースを横断するように往復運動している時
を比較すると、緑甲羅に当たらずに通り抜けるのは後者の方が難しい事は想像できるのではないでしょうか。

後者の方が難しいのは、緑甲羅とカートが有限の大きさであるため、カートが緑甲羅に当たる可能性のあるエリアに侵入してから通り抜けるまでに有限の時間がかかり、この間に緑甲羅が移動してカートにぶつかる事がある事に起因します。

#3に書いたものはこういう効果を取り入れていて、#4さんのモデルにはおそらく含まれていないだろうと思います。
※どういうモデルで考えるかは最終的には貴方が何を考えたいかという話なので、含まれてないから正しくないという意味ではありませんが。

kamiyasiro · Answer

＞ ほとんど確率的に同じだから、お互い動く方が損。片方が動かないほうが労力が少ない。

山で遭難した人と、捜索する人の関係に似ていますね。
遭難者は、動かずに体力を温存すべき、ということですね。

ランダムに動かない点が、ちょっと違うかもしれませんが・・・。

kamiyasiro · Answer

ランダムウォークのコンピュータシミュレーションをやってみました。

点が一致する確率は０なので、領域を共有するという考え方です。

体育館を25×25のマス目に区切り
人は、ランダムに選んだ初期値から出発し、
次の時刻には隣接する8個のマス目のいずれかに移動する。
同じマス目にとどまることはない。
次々回に、元のマス目に戻ることはある。
もちろん、壁際の場合は壁の向こう側には行けない。

添付図は１人が2000ステップ動いた時の軌跡です。

50000ステップ移動を繰り返し、
①１人で動き、（仮に）中央のマス目に入った回数を調べる。
②また2人のケースでは、同時刻に同じマス目に入った回数を調べる。

①は86回
②は83回

ほぼ同じという結果になりました。

数学の得意な方のご参考になれば・・・。

eatern27 · Answer

話が近そうなのは平均自由工程の概念かなと思いますが、

「気体」の中を運動する「粒子」を考えたとき、

気体が止まっている(粒子と比べて遅い場合)場合の粒子の平均自由工程
気体と粒子が同一の速度分布に従う場合(粒子=気体分子の場合)の粒子の平均自由工程

とでは前者の方が√2倍だけ長いので、双方が動き回った方が良いという事にはなりますかね。(平均自由工程を記述にした場合という事にはなりますが)

stomachman · Answer

（「体育館のよう」と表現される、おそらく）平坦で有限の空間を、（「手探り」だの「ビー玉」だのという言葉で意図していると思われる）有限の占有面積を持つものが動く、ということらしい。
　ともかく、「遭遇率が高い」だの「衝突する機会が多い」だのが一体どういう意味なのかが定まらないと、ご質問に対する答が出せっこないのは明らか。その上で、これはずいぶん複雑な話なんで、さらに詳細な条件を明確にする必要がある。
　たとえば、空間の形と大きさを予め知っていて、その空間の中での位置が自分にはわかる、という条件なら、一方が動かず他方が空間をくまなく通過すれば明らかに、有限時間内に必ず衝突する。さらに、自分が動かない係なのか、動く係なのか、の区別がわかるのなら、これは実行可能である。しかし、このことと「遭遇率が高い」や「衝突する機会が多い」という（意味が定まっていない）言葉との関係は、（意味が定まっていないんだからもちろん）わからない。

というようなわけで、「数学的に記述」を求める以上は、少なくとも「遭遇率が高い」だの「衝突する機会が多い」だのの感覚的な言葉だけでは話が伝わらない、ということを了解なさる必要があるってことです。

largesnowman · Answer

片方が止まっていて、もう一人が探すほうが遭遇する確率は高いでしょうね。
なぜならば、止まっている人がどこであっても、
探す人が隅から順に歩いていけば必ず遭遇しますからね。
両者が動いていればそう簡単には遭遇しないと思います。
遭遇するとしたら、それは偶然の遭遇ですが、
片方が止まっていれば、計画的に確実に遭遇するので、
そちらの方が遭遇する確率は高いでしょう。

暗闇で２人が出会うには両方動いたほうが良いか、片方止まっていたほうが良いか

No.4です。

例えばマリオカートをご存知であれば、

＞ ほとんど確率的に同じだから、お互い動く方が損。

ランダムウォークのコンピュータシミュレーションをやってみました。

話が近そうなのは平均自由工程の概念かなと思いますが、

（「体育館のよう」と表現される、おそらく）平坦で有限の空間を、（「手探り」だの「ビー玉」だのという言葉で意図していると思われる）有限の占有面積を持つものが動く、ということらしい。

片方が止まっていて、もう一人が探すほうが遭遇する確率は高いでしょうね。

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