写真の問題についてどうして赤線から青線にかけて計算するのかわかりません。赤線の時点でx,y座標は

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質問者：yuu_2470
質問日時：2024/03/31 00:15
回答数：5件

写真の問題について
どうして赤線から青線にかけて計算するのかわかりません。
赤線の時点でx,y座標はわかっていたし4つまり2^2ということで半径も2で良かった気がするんですが、よくわからないです。
教えてください

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回答 (5件)

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No.2ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2024/03/31 00:43

＞どうして赤線から青線にかけて計算するのか

「どうして」は「理由」を聞いているのですね？

「赤の式」は、「AP の中点 Q が満たすべき方程式」であることは分かりますね？　この式での (x, y) は Q の座標のことです。

上に書いてあるように
　P(s, t), Q(x, y)
として、s, t と x, y の関係を求めています。
そして、P(s, t) は「原点を中心とする、半径 2 の円」なので
　s^2 + t^2 = 4
であることから、これに「s, t と x, y の関係」を代入してます。

おそらく「x, y」と書いているので、点Pが存在する
　x^2 + y^2 = 4
とごっちゃになっているのだと思います。
この x, y を s, t に置き換えた上で、あらためて Q(x, y) という新しい x, y を導入しています。前の「点P の x, y」とは別なものを表します。

前の「点P の x, y」は「点Ｐの満たすべき座標」として「x, y」を使っていますが、問題の解では「点Ｑの満たすべき座標」に変更して「x, y」を使っているのです。
同じ「記号」ですが、満たすものが異なるわけです。
単に「x, y」という記号にしているだけで、別なものと考えればよいです。

何なら、x, y を使わずに、Q(a, b) として a, b が満たす式を求めてもよいです。
そうすれば
　a = (3 + s)/2, b = (1 + t)/2
から
　s = 2a - 3, t = 2b - 1　　　　①
として、P(s, t) が
　s^2 + t^2 = 4
を満足することから、①を代入して
　(2a - 3)^2 + (2b - 1)^2 = 4
両辺を 4 で割って
　(a - 3/2)^2 + (b - 1/2)^2 = 1
従って Q の軌跡は、a→x, b→y と書いて
　(x - 3/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1
つまり
　(3/2, 1/2) を中心とする、半径１の円
ということになります。

「x, y」は、単に「座標を表わす変数」であって、Ｐに固有の変数というわけではなく、Ｑの座標を表わす変数に使っても何の問題もありません。
ただし、同じ変数を使ったからといって、「同じ座標を表わす」わけではありません。

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No.5

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/03/31 20:29

変形せずとも、(2x-3)^2 + (2y-1)^2 = 4 の式を見ただけで

原点中心、半径 √4 の円を、(3,1) だけ平行移動して、1/2 倍に相似したもの
だと読み取れる。よって半径は (√4)/2 = 1 なのだけれども...

これを「半径も2で良かった気がする」と思ってしまうような人は、
端折って赤線の式で止めないで、地道に青線の標準形へ変形したほうがいい。
慣れないうちに手抜きをすると、間違えるだけだ。

二次曲線の標準形において、円の式は
(x - (中心のx座標))^2/(半径)^2 + (x - (中心のx座標))^2/(半径)^2 = 1
なので、赤線の式の両辺を 4 で割って、左辺の各項を 2^2 で約分すれば
青線の式になる。写真の式変形も、そうやっている。

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No.4

回答者： tknakamuri
回答日時：2024/03/31 08:20

楕円の方程式の標準形

(x-p)^2/a^2+(y-q)^2/b^2=1

(p, q): 楕円の中心座標
a: 楕円の横方向の半径
b: 楕円の縦方向の半径

に変形しているだけでしょう。

これならひと目でどんな形かわかります。
赤線の状態では不親切でしょう。

又、式半径は明らかに1です。
PじゃなくてQの描く円の半径なので混同しないように。