写真の問題について どうして赤線から青線にかけて計算するのかわかりません。 赤線の時点でx,y座標は

写真の問題について
どうして赤線から青線にかけて計算するのかわかりません。
赤線の時点でx,y座標はわかっていたし4つまり2^2ということで半径も2で良かった気がするんですが、よくわからないです。
教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/31 00:43

＞どうして赤線から青線にかけて計算するのか

「どうして」は「理由」を聞いているのですね？

「赤の式」は、「AP の中点 Q が満たすべき方程式」であることは分かりますね？　この式での (x, y) は Q の座標のことです。

上に書いてあるように
　P(s, t), Q(x, y)
として、s, t と x, y の関係を求めています。
そして、P(s, t) は「原点を中心とする、半径 2 の円」なので
　s^2 + t^2 = 4
であることから、これに「s, t と x, y の関係」を代入してます。

おそらく「x, y」と書いているので、点Pが存在する
　x^2 + y^2 = 4
とごっちゃになっているのだと思います。
この x, y を s, t に置き換えた上で、あらためて Q(x, y) という新しい x, y を導入しています。前の「点P の x, y」とは別なものを表します。

前の「点P の x, y」は「点Ｐの満たすべき座標」として「x, y」を使っていますが、問題の解では「点Ｑの満たすべき座標」に変更して「x, y」を使っているのです。
同じ「記号」ですが、満たすものが異なるわけです。
単に「x, y」という記号にしているだけで、別なものと考えればよいです。

何なら、x, y を使わずに、Q(a, b) として a, b が満たす式を求めてもよいです。
そうすれば
　a = (3 + s)/2, b = (1 + t)/2
から
　s = 2a - 3, t = 2b - 1　　　　①
として、P(s, t) が
　s^2 + t^2 = 4
を満足することから、①を代入して
　(2a - 3)^2 + (2b - 1)^2 = 4
両辺を 4 で割って
　(a - 3/2)^2 + (b - 1/2)^2 = 1
従って Q の軌跡は、a→x, b→y と書いて
　(x - 3/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1
つまり
　(3/2, 1/2) を中心とする、半径１の円
ということになります。

「x, y」は、単に「座標を表わす変数」であって、Ｐに固有の変数というわけではなく、Ｑの座標を表わす変数に使っても何の問題もありません。
ただし、同じ変数を使ったからといって、「同じ座標を表わす」わけではありません。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/31 20:29

変形せずとも、(2x-3)^2 + (2y-1)^2 = 4 の式を見ただけで

原点中心、半径 √4 の円を、(3,1) だけ平行移動して、1/2 倍に相似したもの
だと読み取れる。よって半径は (√4)/2 = 1 なのだけれども...

これを「半径も2で良かった気がする」と思ってしまうような人は、
端折って赤線の式で止めないで、地道に青線の標準形へ変形したほうがいい。
慣れないうちに手抜きをすると、間違えるだけだ。

二次曲線の標準形において、円の式は
(x - (中心のx座標))^2/(半径)^2 + (x - (中心のx座標))^2/(半径)^2 = 1
なので、赤線の式の両辺を 4 で割って、左辺の各項を 2^2 で約分すれば
青線の式になる。写真の式変形も、そうやっている。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/03/31 08:20

楕円の方程式の標準形

(x-p)^2/a^2+(y-q)^2/b^2=1

(p, q): 楕円の中心座標
a: 楕円の横方向の半径
b: 楕円の縦方向の半径

に変形しているだけでしょう。

これならひと目でどんな形かわかります。
赤線の状態では不親切でしょう。

又、式半径は明らかに1です。
PじゃなくてQの描く円の半径なので混同しないように。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/03/31 05:35

(2x-3)^2+(2y-1)^2=4

は

点(2x,2y)の軌跡が
中心(3,1) 半径2 の円
ということであって
点(x,y)の軌跡
ではありません
だから

(x-3/2)^2+(y-1/2)^2=1
と
することよって

点(x,y)の軌跡
中心(3/2,1/2) 半径1 の円
を
求めるのです

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/31 00:36

4x^2 + 4y^2 = 4

って式を見て, あなたは
あぁ, 原点を中心とする半径 2 の円なんだな
って理解しますか?