数学のリアリティ

素数判定の方法について検討していた時、数学のリアリティと現実でのリアリティの線引きについて疑問が起こりました。具体的には次のことです。
「二つの容器があり、その容量は任意に設定できる。そして、容器には１ℓのところだけは目盛が付いている。今、nℓの水が用意され、そのnが素数値であるかどうかを判定したいとする。ただし、nは３以上の奇数値とする。
そこで、二つの容器の内、一方を容量nℓとし、もう一方を３ℓとして、その３ℓの容器に水を満杯にして、nℓの容器に全部注ぐ。何回か繰り返して、nℓ容器が一杯になったら中の水を捨てる。まだ3ℓ容器に水が残っていたら、その水を注いで再び同じことを繰り返す。最後に０ℓつまり全部注げてしまうか、それとも、1ℓだけ残っていれば、この段階はこれで終了。１ℓ残った場合は次に進む。次に、5ℓに容量を変えて、再び、同じ操作を繰り返す。これをnℓまでの素数全てについて行う。どの素数値容量でも最後に1ℓが残るのであれば、nは素数と判定できる。もちろん、途中で、０ℓになる値の容量があれば、そこで終了してかまわない。その場合、nは合成数と判定できる。これら全操作にかかるステップ数は、概ね、nlognのオーダーとできる」
上記の方法より、より効率の良い操作方法はあるでしょうし、操作のステップ数をどう捉えるかによってもその数は変わってくるでしょうが、多項式時間内での判定方法とは出来るでしょう。
やった！新しい素数判定法を見付けたぞ！と喜んだのも束の間（約３秒間）、すぐに問題点に気付かざるを得ませんでした。（問題点だけでなく、とっくに思い付かれていて、その非現実性からすぐに放り出されているかも知れませんが）
まず、素数は無数にあるのだし、いくらでも巨大な素数を判定しなければならなくなる、ということです。２桁程度なら何とかなるでしょうが、数十桁や数百桁のℓ数となるとどうか？そんな大量の水をどこから調達して来ればよいのか？仮にあったとして、それをどうやって一か所に集めるのか？さらに大量というのさえ愚かしいほどの水が集まれば、それだけで、重力崩壊を起こして、途中で核融合爆発すら起こるかもしれない。もっとあります。その水を注いだり、捨てたりする時間です。何とか我慢できる時間内にそんな膨大な水の移動を行うとすると、ひょっとして超光速で運動させなければならないかもしれない。いや、きっとそうなる。それは相対論から禁止されているし、それすらも何とかできるとして（随分、無理な何とかですが）水にだって粘性や摩擦はあるから、移動の際も容器の壁や底に幾分かは水が残ってしまうでしょう。これを避けるためには液体ヘリウムのような超流動体にする必要があるが、極低温にしないと大量に蒸発していくから正確な測定は無理となる。
ℓ単位にするからこんな問題が起こるのだとして、㎖とかμℓ、さらにナノℓとかピコℓにすることも考えられるかもしれませんが、そこまで来ると、そろそろ水分子の大きさを考慮しなければならなくなるでしょう。すると、連続な流体として扱えなくなってしまうし、先にも述べたように、数滴でも容器に残れば、それだけで判定結果は信用できないものになってしまいます。
しかし、純粋に数学の問題として扱うなら、これらの物理上の問題は全部無視できる。超光速も、重力崩壊の問題もないものとして扱うことが一応はできるでしょう。そこで、数学のリアリティと現実の物理的リアリティのバランスをどう取ればよいのか、という疑問が出てくるのです。
素数判定は、実際に計算機を使って判定することが重要というより、まさにそれそのものだともいえるから、物理的に実行できねば意味がないともいえる。
どう考えればよいでしょうか？数学における様々なテクニック、例えば、無限に飛ばすとか０への極限をとるといった操作は、物理的に可能かどうかは、一先ず置いておくでしょう（物理学に応用する際には、近似をとることになるのでしょうが…）。素数判定においても、そのように考えてよいのでしょうか？それとも、現実に可能であるかどうかが必須ということでしょうか？これは素数判定に限らず、他にも現実に可能かということが大事というより必要な場面が数学の世界内にもあるということになるでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/21 17:25

思考実験にリアリティーは要らないような気がするが...

あなたの考えで一番リアリティーがないのは、計算時間以前に
自然数を考えるのに水を使っている点だ。
なぜ、オハジキやコインにしなかった？
n が大きくなれば、操作の回数も増えて、
累積した誤差が 1L を超えてしまうこともあるだろう。

No.1 回答者： ogi_3 回答日時： 2024/04/21 14:56

せめて読めるように改行を入れてくれ