続・対数積分について

先日、投稿した1/logxの積分について、まず不定積分として部分積分してみると、以下のようになるでしょう。（ただし、積分定数は省略する。後で定積分で考えることになるため）
∫1/logxdx=x/logx-∫x(1/logx)'dx=x/logx+∫1/log²xdx=x/logx+x/log²x-∫x(log²x)'dx
=x/logx+x/log²x+∫2(1/log³x)dx=x/logx+x/log²x+2x/log³x-∫2x(1/log³x)'dx
=x/logx+x/log²x+2x/log³x+2・3x/log⁴x-∫2・3x(1/log⁴x)'dx=x/logx+x/log²x+2x/log³x+
2・3x/log⁴x+2・3・4x/log⁵x-∫2・3・4x(1/log⁵x)’dx=…
これから、∫1/logxdx=x/logx+Σ(m-1)!/(logx)∧ｍ 　m=2,3…
となると考えたのです。上式を①xとし、２からあるｘまで定積分するという計算に用いて、
①xー①x=₂で考えてみると、x＝2の式の値が引かれるとしても、２より大きいxまで積分するなら、式の値は無限大になってしまうのではないかと疑問に思ったのです。
前の投稿にも書いたように、1/logxの定積分は、1/logxのグラフと積分区間（例えばxが２から１０）におけるx軸との間の面積とも捉えられると解釈すると、無限大というのはおかしいということです。
しかし、寄せられた回答を見る限り、有限のｘであっても一つの値に収束はせず発散するということらしいのですが、それでよろしいのですね？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/22 09:19

その部分積分による級数展開するのは有限回のみ有効で∞回行うのは部分的に発散するので正当ではありません

Li(x)≔∫1/logx dx

の正当な級数展開は画像の通り

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/19 19:34

訂正します

その部分積分は発散するようにみえるけれども発散するとはいえません

①x=S(m)+R(m+1)

S(m)=Σ{k=1～m}(k-1)!{x/(logx)^k}

とすると

m項の和
S(m)は
lim{m→∞}S(m)=∞　に発散するのだけれども

剰余項
R(m+1)が
lim{m→∞}R(m+1)=-∞に発散するから

①x=∞-∞

不定形になるので発散するとはいえません

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/14 19:59

①x=10-①x=₂で考えてみると、

10/log10 =4.34>2.89 =2/log2
10/(log10)^2 =1.89<4.16 =2/(log2)^2
2*10/(log10)^3 =1.64<12.0 =2*2/(log2)^3
3!*10/(log10)^4 =2.13<52.0 =3!*2/(log2)^4
4!*10/(log10)^5 =3.71<300. =4!*2/(log2)^5
5!*10/(log10)^6 =8.05<2160 =5!*2/(log2)^6
6!*10/(log10)^7 =21.0<18700 =6!*2/(log2)^7
7!*10/(log10)^8 =63.8<189000 =7!*2/(log2)^8
8!*10/(log10)^9 =222.<2180000 =8!*2/(log2)^9
9!*10/(log10)^10=866.<28300000=9!*2/(log2)^10

だから

①x=10の式の値は∞
①x=2の式の値も∞

①x=10-①x=₂=∞-∞

の不定形になるので
収束とも発散ともどちらともいえません

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/14 12:09

#2です。

もう一つつっこみ。
>前の投稿にも書いたように、1/logxの定積分は、1/logxのグラフと積分区間（例えばxが２から１０）におけるx軸との間の面積とも捉えられると解釈すると、無限大というのはおかしいということです

2からの積分であればxをどこで打ち切ろうがn→∞で発散します。
2<x<eの領域で0<logx<1ですから、その領域ではその逆数1/logxのn乗はn→∞で+∞に発散します。そのようになる領域は確かに狭いですが有限の大きさですのでこの部分の寄与が圧倒的に大きい。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/13 09:40

その部分積分は

x=2のときも∞
x=10のときも∞
Σ{m=1～∞}(m-1)!{x/(logx)^m}-Σ{m=1～∞}(m-1)!{2/(log2)^m}
=∞-∞
の不定形になるので不適切です

t=logx
とすると
e^t=x
(e^t)dt=dx
t=log2～logx
e^t=Σ{n=0～∞}(t^n)/n!

(e^t)/t
=Σ{n=0～∞}t^(n-1)/n!
=1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!
だから

∫[2～x](1/logx)dx
=∫[log2～logx]{(e^t)/t}dt
=∫[log2～logx]{1/t+Σ{n=1～∞}t^(n-1)/n!}dt
=
[logt][log2～logx]+Σ{n=1～∞}{t^n/(n*n!)}[log2～logx]
=
log(logx)-log(log2)+Σ{n=1～∞}{(logx)^n-(log2)^n}/(n*n!)}

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/05/12 22:44

あまり良く見ていないが途中の計算は合っているようだ。

(質問文の途中で入力ミス(1行目最終項が-∫x(log²x)'dxとなっていますが-∫x(1/log²x)'dxが正しい)がありますが、その後は正しくなっています)

問題となるのは
>=x/logx+x/log²x+2x/log³x+
2・3x/log⁴x+2・3・4x/log⁵x-∫2・3・4x(1/log⁵x)’dx=…
>これから、∫1/logxdx=x/logx+Σ(m-1)!/(logx)∧ｍ 　m=2,3…
>となると考えたのです

の部分かな。
最後の積分項が部分積分をして置き換えられるように見えますが、そこから出てくる積分項はさらに大きくなっていきます。(1/logx)^nが小さくなるよりもn!が大きくなるほうがはやい)
要するにプラスの項も大きくなりそこだけ見ると発散するが、マイナスの積分項も大きくなるためこれだけでは収束するか発散するか言えないのです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/12 12:41

前回の続きですね。

依然として、どう式変形したのかが不明です。

∫1/log x dx = x/logx - ∫x(1/log x)' dx
= x/log x + ∫1/log² x dx
= x/log x + x/log² x - ∫x(log² x)' dx
= x/log x + x/log² x + ∫2(1/log³ x) dx
ここの下２行が不詳ですねえ...

∫x(log² x)' dx を、どう扱ったんでしょうか？
部分積分で、x を微分する側、(log² x)' を積分する側
として扱ったのなら、
∫x(log² x)' dx = x(log² x) - ∫1(log² x)dx となって
∫2(1/log³ x) dx にはならないはずですが。

前回も書いたように、結果的に
∫1/log x dx = x/log x + Σ[m=3→∞] (m-1)!/(log x)^ｍ の
右辺は任意の x について発散するので、
どこかに式変形の間違いがあるのは確かなのですが...
式変形の過程が質問内に書かれてないので、
どこをどう間違えたのかは、指摘しようがありません。

変形過程で +... で済まされてる部分の末尾の項が
単独で ∞ 発散する式になっている可能性が大きい
とは思うのですが、あなたの変形過程が判らないことには
正確なことは言えません。