a, bがa0, b0,1/a+2/b=3を満たして変化するとき, (1) abの最小値を求めよ

Question

a, bがa>0, b>0,1/a+2/b=3を満たして変化するとき,

(1) abの最小値を求めよ。

(2) a+bの最小値を求めよ。

をbを消して微分して求める方法でのやり方を教えてください。

mtrajcp · Accepted Answer

a>0

b>0
1/a+2/b=3
↓両辺にabをかけると
b+2a=3ab
↓両辺に-bを加えると
2a=3ab-b
2a=(3a-1)b
↓a>0,b>0だから3a-1>0だから両辺を3a-1で割ると
2a/(3a-1)=b
↓両辺にaをかけると
2a^2/(3a-1)=ab

ab=2a^2/(3a-1)
↓微分すると
(ab)'
=4a/(3a-1)-6a^2/(3a-1)^2
=2a(3a-2)/(3a-1)^2

a<2/3のとき(ab)'<0だからabは減少
2/3<aのとき(ab)'>0だからabは増加
だから
a=2/3のときb=4/3
ab最小=8/9

b=2a/(3a-1)
↓両辺にaを加えると
a+b=a+2a/(3a-1)=a(3a+1)/(3a-1)
↓微分すると
(a+b)'
=(3a+1)/(3a-1)+3a/(3a-1)-3a(3a+1)/(3a-1)^2
={(3a+1)(3a-1)+3a(3a-1)-3a(3a+1)}/(3a-1)^2
=(-3a-1+9a^2-3a)/(3a-1)^2
=(9a^2-6a-1)/(3a-1)^2
={(3a-1)^2-2}/(3a-1)^2
=(3a-1+√2)(3a-1-√2)/(3a-1)^2

a<(1+√2)/3のとき(a+b)'<0,a+b減少
a>(1+√2)/3のとき(a+b)'>0,a+b増加

a=(1+√2)/3のときb=(2+√2)/3

(a+b)最小=(3+2√2)/3=1+{(2√2)/3}

endlessriver · Answer

#3です。間違えました。

tknakamuri · Answer

解法がわかっているなら自分で手を動かすべきと思いますが
私は未定乗数法で解きます。楽なので(^^;

a → 2/3+0, ∞ で ab も a+b も発散することは明らかだから
a > 2/3 で停留点が1個なら停留点が極小値(=最小値)です。

g(a, b) = 1/a+2/b -3
とします。
(1)
h(a, b) = ab + λg(a, b)=ab + λ/a + 2λ/b - 3λ
∂h/∂a = b - λ/a^2 = 0 → a^2b = λ
∂h/∂b = a - 2λ/b^2 = 0 → ab^2 = 2λ
→ a/b = 1/2 → b = 2a

g(a, 2a) = 1/a + 1/a - 3 = 0 → a = 2/3, b = 4/3 
→ ab = 8/9 (最小値)

(2)
h(a, b) = a+b + λg(a, b)=a+b + λ/a + 2λ/b - 3λ
∂h/∂a = 1 - λ/a^2 = 0 → a^2 = λ
∂h/∂b = 1 - 2λ/b^2 = 0 → b^2 = 2λ
a, b は正だから
→ b = √(2)a > 0
g(a, √(2)a) = 1/a + √(2)/a - 3 = 0
→ a = (1+√(2)) /3 
b = √(2)a = (√(2) + 2)/3
a+b=(2√(2)+3)/3 (最小値)