マクローリン展開とか積分で

ex=1＋...
のときに
eθxを
うえのxにθxを代入したものと考えるのは間違いだと思いますけど、なんでそんなことを書きますか？？
結果的に同じ形になるだけで。。

質問者からの補足コメント

• 

  答えは、
  演算としての微分の線形性と
  0元にあるとおまいます。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/11 15:16

• 

  マクローリン展開は
  xのn上が係るところは
  θxじゃないよ？
  もともとは
  nじで近似したくて、じゃあ係数何？ってしらべる（各回微分する）
  と、an = f(n)(0) となったからだとおもう。

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/06/11 18:30

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/11 18:20

←補足 06/11 15:16

そうかな？
df/dt は、f について線型だけど、
t については線型じゃあない。
t = θx を考える上で、線型性は関係ない気がする。

この回答へのお礼

すこし違うと思うけど、わたしが考えたのは、
マクローリン展開の各項
(f(n)(0)/n!)x^n
について、そこでθがnこでてくる
∵f'(ax) = af'(x) (線形性)
それにxがかかるので
(θx)^n/n!という
部分について、同じ形になります

お礼日時：2024/06/11 18:28

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/11 09:03

←No.７ 返信

だから、そうなるって、証明つきでかいてるじゃない。
＞ 定数関数 0 の冪級数展開は Σ0x^k だけなので
が行間広かったのかな？

g(x) = Σ(c_k)x^k の c_k の中に 0 でないものがあったとする。
c_k ≠ 0 となる最小の k を k = n と置けば、
lim[x→0] g(x)/x^n = c_k ≠ 0. これは、g(x) が定数関数 0 のときは
起こり得ないことである。よって、
g(x) が定数関数 0 ならば、g(x) = Σ(c_k)x^k の c_k は全て 0.

この回答へのお礼

でも、試験でそのように書いたら問題の汎用な答えになってないのでだめだとおもうよ？

お礼日時：2024/06/11 09:52

No.8 回答者： んけー 回答日時： 2024/06/11 07:51

調べたらロルの定理が出てきました

この回答へのお礼

そなんですね〜ありがとうございます :)

お礼日時：2024/06/11 08:09

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/11 00:37

←No.4 返信

e^t を t でマクローリン展開したものに t=θx を代入したものが
e^(θt) を x でマクローリン展開したものと一致するのか？
という質問なら、答えは Yes.

理由は、冪級数展開は一意だからで、
目的の関数に収束する冪級数が得られたなら
マクローリン展開はそれ以外にはないことになる。

一意性は、下記のように得られる。
f(x) = Σ(a_k)x^k = Σ(b_k)x^k であれば、
冪級数は収束円内で絶対収束することから
項別に差を取ることができて
0 = f(x) - f(x) = Σ(a_k)x^k - Σ(b_k)x^k = Σ(a_k - b_k)x^k.
定数関数 0 の冪級数展開は Σ0x^k だけなので、
a_k = b_k と判る。

この回答へのお礼

言い方を変えますけど、一般に、
f(x)の展開にx=θxを代入したたものはf(xθ)の展開になりますか？？

お礼日時：2024/06/11 07:32

No.6 回答者： んけー 回答日時： 2024/06/10 22:47

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/ren …

この回答へのお礼

お礼日時：2024/06/11 07:33

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/06/10 22:22

e^(θx)を

e^x
のxにθxを代入したものと考えるのは間違いではありません
同じものは同じです

この回答へのお礼

そなんですね？

お礼日時：2024/06/11 07:33

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/10 20:49

ex = 1 + ... はナイでしょう。

ex をマクローリン展開したら、ex = 0 + ex + 0x^2 + ... です。
e・0 の値はいくつですか？

ひょっとして、e^x のマクローリン展開の話をしているなら、
e^t のマクローリン展開に t = θx を代入すればよいです。
同じ x を別の目的に使いまわす書き方は、
あなた自身がそれで混乱しなければ、やってもかまわないし、
混乱してしまうのなら、避けたほうがよい。
解ってやるのならかまわないけど... という話です。

この回答へのお礼

ごめんなさい。ちゃんとかきます。
e^xのマクローリン展開はみんなわかるとおもいますけど
e^θxのときに
そのマクローリン展開の雛形にxを形式的にθxを代入したものはそれのマクローリン展開にちゃんとなってるけど、過程的にいうとe^θxの各階微ぶんででてくるθががxにかかってるだけです。それについて質問しました。

お礼日時：2024/06/10 21:05

No.3 回答者： んけー 回答日時： 2024/06/10 18:13

おい！わからないまま気持ち悪いことになるじゃないか！おれは、気になった！それだけだ

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2024/06/10 18:05

論文を書いて、関係する学会で発表してみましょう。

No.1 回答者： んけー 回答日時： 2024/06/10 18:01

なんの話か忘れたがオイラーかなんか？

次元がわからない。何かを解くときのxのあり方にθが介入しても、何かしらを示すことにつながるとか