
写真の命題1.3の証明についてですが、赤線部に書いてあることがわからないです。
なぜ命題1.2にδ0=min{c-a,b-c}を代入すると命題1.3が示せるのでしょうか?赤線部に「なぜならば…」
と理由も書いてありますがその部分もわからないです
解説おねがいします。
写真: https://d.kuku.lu/wzzrhrcac
A 回答 (8件)
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No.8
- 回答日時:
δ0>0は任意の(自分で定めてよい)数なのだけれども
εより後に定めてはいけない
δより後に定めてはいけない
xより後に定めてはいけない
変数の定める順序は
C,a,b,I,c,f,A,ε0,δ0
↓
ε
↓
δ
↓
x
の順序でなければならない
No.7
- 回答日時:
訂正します
②命題2(ii)の「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」の部分と
命題3(ii)の「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす」の2つについててすが、
この2つは結局、「0<|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす」
と読み替えてはいけない
δ0=min{c-a,b-c}
とするから
命題2(ii)
「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ≦δ0
となるような
δが存在する
ならば
0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min(b-c,c-a)
だから
a<x<c.or.c<x<b
だから
x∈I-{c}=(a,b)-{c}
が成り立つから
命題3(ii)
「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ
となるような
δが存在する
と
命題2(ii)から命題3(ii)がいえるのです
δ0=min{c-a,b-c}
が
なければ
命題2(ii)
「x∈I/{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」
0<δ≦δ0
となるような
δが存在しても
0<|x-c|<δ
であっても
x∈I/{c}となるとは限らないから
「
0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす
」
がいえないから
命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するとはいえない
x∈I/{c}が成り立つようにするために
δ0=min(b-c,c-a)が必要なのです
No.6
- 回答日時:
命題1.2(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
から
命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在する
を
証明する場合は
命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在するといっているのだから
δ≦δ0とならないことはありえないのです
0<δ≦δ0は証明すべきことではなく条件なのです
命題1.2(ii)は
0<δ≦δ0
となるようなδが存在する条件が成り立つなら
命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するかを証明するのです
命題1.2(ii)から
0<δ≦δ0=min(b-c,c-a)となるδが存在するのだから
0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min(b-c,c-a)
だから
a<x<c.or.c<x<b
だから
x∈I-{c}=(a,b)-{c}
が成り立つ
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
が成り立つから
|f(x)-A|<Cεをみたす
から
[
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δが存在するから
命題1.3(ii)が成り立つのです
逆に
命題1.3(ii)から
命題1.2(ii)を証明する場合は
0<δ≦δ0となるδが存在することを証明しなければならないのです
命題1.3(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
0<|x-c|<δ'ならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ'が存在する
から
命題1.2(ii)
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在する
を証明する場合は
δ=min(δ0,δ')
とすると
0<δ=min(δ0,δ')≦δ0
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ=min(δ0,δ')≦δ'だから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
から|f(x)-A|<Cεをみたすから
[
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
]
となるような
0<δ≦δ0が存在するから
命題1.2(ii)が成り立つ
No.5
- 回答日時:
①
命題2(ii)は
0<δ≦δ0
となるδがあるといっているのです
だから
命題2(ii)が成り立てば
命題3(ii)
0<δ
となるδがある
が成り立つのです
命題2(ii)→命題3(ii)は無条件に成り立つのです
No.4
- 回答日時:
①
命題3(ii)のδがδ<δ0である必要はありません
命題3(ii)の
δが
δ>δ0
であってもよいのです
だから
命題2(ii)の δ≦δ0 と
命題3(ii)の δ(>δ0であってもよい) を 区別するために
命題3(ii)の δをδ'とするのです
命題3(ii)の δをδ'とすると
命題3(ii)
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ'が存在し,
0<|x-c|<δ'ならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
となるのです
そして
このδ'に対して
δ=min(δ',δ0)
とすれば
0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ=min(δ',δ0)≦δ' だから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
となるのです
②
I=(a,b)
の場合はそれでよいです
返信ありがとうございます。①についててですが、以下のように解釈するのはどうでしょうか?
命題3(ii)ではδ>0となっているが、命題3が成り立つことを証明するために命題2(と同じ形にしたいから命題2(ii)の0<δ<δ0という不等式を用いたい。
ここでx∈I=(a,b)/{c}ということより
0<|x-c|<min{b-c,c-a}だから写真の命題3(ii)のようにある数δ>0を用いると
0<|x-c|<δ≦min{b-c,c-a}で、ここでmin{b-c,c-a}=δ0とすれば、δが0<δ≦δ0を満たしているから命題2(ii)が適応できる。
No.1
- 回答日時:
I=(a,b)とおく
a<c<b
f:I-{c}→R
ε0>0
δ0=min{c-a,b-c}
A∈R
とする
命題1.2から
次の(i),(ii')は同値である
(i)fはcで極限Aをもつ
(ii')
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ≦δ0が存在し,
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
(ii)
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δが存在し,
0<|x-c|<δならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
(ii')→(ii)の証明
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ≦δ0が存在し,
x∈I-{c}かつ|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす
とする
このδに対して
0<|x-c|<δならば
0<|x-c|<δ≦δ0=min{c-a,b-c}だから
x<cのとき
|x-c|=c-x<c-a→a<x<c
x>cのとき
|x-c|=x-c<b-c→c<x<b
だから
(a<x<c).or.(c<x<b)
だから
x∈(a,b)-{c}=I-{c}
を満たすから
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
だから
|f(x)-A|<Cεをみたすから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
(ii)→(ii')の証明
あるC>0が存在して
0<ε≦ε0を満たす任意のεに対して,ある0<δ'が存在し,
0<|x-c|<δ'ならば
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
とする
δ=min(δ',δ0)
とする
x∈I-{c}かつ|x-c|<δ
とする
δ≦δ0
0<|x-c|<δ≦δ'
だから
x∈I-{c}かつ|f(x)-A|<Cεをみたす
から
|f(x)-A|<Cεをみたす
∴
(ii'),(ii)は同値だから
(i),(ii')は同値だから
∴
(i),(ii)は同値
回答ありがとうございます。
2つ確認したいことがあります
①命題3(ii)についてですが、「δ>0が存在する」と書かれていますが、このδは0<|x-c|<δを満たすことと、I=(a,b)であることからδ<min{c-a,b-c}だからmin{c-a,b-c}=δ0とおいて、無理矢理?0<δ<δ0と考えて命題2(ii)と同じ形にしているという理解でよろしいでしょうか?
②命題2(ii)の「x∈I/{c}かつ
|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεを満たす」の部分と
命題3(ii)の「0<|x-c|<δならばx∈I/{c}かつ|f(x)-A|<Cεを満たす」の2つについててすが、
この2つは結局、「0<|x-c|<δならば|f(x)-A|<Cεをみたす」と読み替えても(そのような解釈でも)よいでしょうか?
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