次の命題の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげなさい -1<X<1 →X≦5 これ教えてください！

次の命題の真偽を調べ、偽である場合には反例をあげなさい
-1<X<1 →X≦5
これ教えてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/10 19:42

真なんだけれど、証明しろって言われたら

何を書いたらいいのかな？
(-1<X かつ X<1) → (X<5 または X=5) を証明するには
X<1 → X<5 を証明すれば十分なので、
「X<1 かつ 1<5 より X<5」と書いとけばいいでしょうかね。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2019/02/10 22:56

ソモソモ、

　　A → B
というのは命題論理の式であって、この式全体が「命題Aが真ならば、命題Bは真である」ということを表す命題です。（別の言い方をすれば「AはBの必要条件である」ということであり、また「BはAの十分条件である」と読んでも同じことで、さらには「Aが偽であるか、またはBが真である」と言っても良いし、「Aが真でかつBが偽、ということはない」ということでもある。）

　ところがですね、A, Bがご質問ではどこに当たるのかというと、Aは"-1<X<1"でBは"X≦5"である。これらはXという変数が入っていますから、これだけでは真とも偽とも定まらない。すなわち、"-1<X<1"と"X≦5"はどちらも命題ではありません。これらは「述語」と呼ばれるものであって、Xが具体的になんなのかが与えられた（代入された）時に初めて命題になるんです。なので、
　　-1<X<1 →X≦5
という式全体も命題になっておらず、これ全体も一つの述語なのです。だから

> 次の命題の真偽を調べ、

と言われたって、命題じゃないんだから無理です。

　ところで、
　　∀X(-1<X<1 →X≦5)
という式は述語論理の式であって、この式全体は「どんなXについても（-1<X<1 →X≦5）ということが成り立つ」という命題である。また、
　　∃X(-1<X<1 →X≦5)
という式も述語論理の式であって、この式全体は「（-1<X<1 →X≦5）ということが成り立つようなXが少なくとも一つ存在する」という命題である。これらは命題になってるんです。

　さて、ご質問では

> 反例をあげなさい

ということを求められている。ということは、出題者の意図はおそらく
　　∀X(-1<X<1 →X≦5)
の真偽を問うているのでしょう。そして、これが偽であるのなら、反例、すなわち「"-1<X<1"が真でありかつ"X≦5"が偽であるようなX」の具体例を示せというつもりなんでしょうね。…と、そこまで出題者を甘やかさなきゃならんわけだが、

　ともあれ、
　　どんなXでも、(-1<X<1でないか、または、 X≦5である）
ということを証明すれば良い。それには場合分けを使います。
　　(1) 「-1<X<1 でない場合には、(-1<X<1でないか、または、 X≦5である）は真だよな。」
と、これはもう自明ですよね。そして、
　　(2) 「-1<X<1 である場合には 、たしかにX≦5だよな。だからこの場合、(-1<X<1でないか、または、 X≦5である）は真だよな。」
ということの前半部分を証明するには、No.2のご回答の通りでよろしいでしょう。で、後半部分はやはり自明ですね。
　　(3) 以上から、Xとして具体的な数aであるとき、aが-1<a<1 を満たす場合と、aが-1<a<1 を満たさない場合とで全ての場合を尽くしている。そして、aが-1<a<1 を満たす場合も、aが-1<a<1 を満たさない場合も、-1<a<1 →a≦5（このaは具体的な数なので、この式全体は命題です）が成り立つ。だから、
　　∀X(-1<X<1 →X≦5)
が成り立つ（真である）。
ということになるわけ。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2019/02/10 19:27

真です。