命題

１任意の実数ｘに対し、自然数Nが存在してN＞ｘとなる。
２自然数Nが存在して、任意の実数ｘに対しN＞ｘとなる。
この２つの命題の真偽はどうなのでしょうか？またこの２つの命題は同じ意味じゃないんでしょうか？どこが違うのかワカリマセン。

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/05/18 21:53

encollegeさん、こんばんは。

命題・・・ややこしいですね。ちょっと考えてみましょう。

＞１任意の実数ｘに対し、自然数Nが存在してN＞ｘとなる。

これは「どんな実数xをとっても、xよりも大きな自然数Nが存在する」という命題です。
Nとして、N=x+1をとれば明らかです。
この命題は真です。

＞２自然数Nが存在して、任意の実数ｘに対しN＞ｘとなる。

この命題は「ある自然数Nがあって、その自然数Nは、どんな実数よりも大きい」というものです。
ここで、充分大きな自然数Nを考えてみましょう。
しかし、N+1という自然数（であり実数）である数字が存在します。
これは、すなわちx=N+1ととれば、命題が成り立たないことを示します。
よって、この命題は偽です。

それぞれの命題の持つ意味をじっくり考えてみてください。
なるほどな～と思えると思います。頑張ってください！！

No.3 回答者： daimaoh 回答日時： 2003/05/19 01:16

ジャンケンで考えましょう。

・どんなｘに対しても、それに勝つＮが存在する。

例：ｘがグーなら、Ｎはパーと相手の手をみて選べる。

・あるＮが存在して、どんなｘにも勝つ。

例：Ｎがグーなら、ｘがパーのとき対応できない。

よって上は正しく、下は間違い。

要するにどちらが先かという順番の問題です。

No.1 回答者： noname#5277 回答日時： 2003/05/18 21:41

まず、１は真です。

続いて２は偽です。

１は、
　どんな実数でも、
　それよりも大きな自然数が存在する
という意味です。

２は、
　ある自然数は、
　どんな実数よりも大きい
という意味です。

以上から、真偽は予想できると思います。
証明とかも出来ますけど、それは割愛します。