スカラー場とベクトル場

閉曲面Sで囲まれた領域Vにおいて、スカラー場f(x, y, z)とベクトル場A(x, y, z)に対して
∫∫(gradf × A)‧ndA=−∫∫∫gradf‧rotAdV

を証明したいです。

どのようになるか教えていただければ嬉しいです。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/06/20 14:42

左辺のdAはdSのことですか?

それならガウスの発散定理を使って証明できます。

∫∫(gradf x A)・ndS=∫∫∫div(gradf x A)DV
となります。

ここでベクトル解析の公式を使い
div(gradf x A)=A・(rot(gradf))-gradf・rotA=-gradf・rotA
(rot(gradf))=0ベクトル)
と変形でき、右辺が得られます。