ガンマ関数Γ(x)は、階乗からどうやって導出するんですか？

階乗を一般化した、ガンマ関数Γ(x)の式はどこから湧いて出てきたんですか？
導出方法を教えてください。

No.3 回答者： sorewasennsei 回答日時： 2024/06/22 00:56

初めて見た時には指数関数とtのz乗なので、部分積分するとtの指数zが1づつ減りながら係数として掛かってくるとみてました。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/06/21 17:26

歴史的にはどうなのか知らんですが、工学的には色々なところに繋がってます。

　線形電気回路や古典制御理論で自然に出てくる「n次遅れ系」（同じ「1次遅れ系」をn段直列接続したもの）はラプラス変換が
　　1/((s + a)^n)
と書けるので、時間応答関数はその逆ラプラス変換で、
　　(t^(n-1)) e^(-at)/n! (t＞0)
となり、n→∞ではデルタ関数に収束する。
　これをもうちょっと一般化して
　　f(K, a, b, t) = K(t^b) e^(-at)
を考えると、「多項式(t^b)で増えていく効果とe^(-at)で抑え込む効果のせめぎ合い」という性質を素直に表している。また、微分方程式
　　df/dt = (b/t - a) f
を満たし、また対数変換すると
　　log(f) = log(K) + b log(t) - at
だから、パラメータ(a, b, log(K))の一次式になる。
　経験的に、この曲線fは、いろんな系で見られる「始めはぐんぐん増えて、やがて指数関数的に減ってくる」という傾向を持つ実験データに（必ずしも「n次遅れ系」とは想定できないような場合でも）しばしばよくフィットする。そうなれば、曲線の形をわずか3つのパラメータに集約できるのはとても効率的。
　さて、そういう実験結果の解析や、応用設計を行うに当たって、この関数の定積分の値
　　 ∫{0〜T} f(K, a, b, t) dt
が欲しくなることはしばしばある。変数変換して
　　∫{0～T} f(K, a, b, t) dt = (K / (a^b)) γ(b, aT)
　　γ(b, T) = ∫{0～T} (t^b) (e^(-t)) dt
まではいいけど、この積分γは初等関数では書けない。（不完全ガンマ関数）
　ところで、T→∞ の場合に限定して
　　Γ(b) = γ(b, ∞)
と書くと、これが関数方程式
　　b Γ(b) = Γ(b + 1)
を満たすことはすぐわかる。
　二項分布を連続化した
　　B(a, b) = ∫{0〜1)(x^(a - 1))((1 - x)^(b - 1)) dx
が
　　B(a, b) = Γ(a)Γ(b) / Γ(a + b)
となることも易しい（ベータ関数）。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/20 20:35

Γ(x) = ∫[0,∞] {t^(x-1)}{e^-t} dt と定義すると、

部分積分によって
Γ(x+1) = ∫[0,∞] {t^x}{e^-t} dt
　　　　= [ {t^x}{-e^-t} ]_{t=0,∞} - ∫[0,∞] {x・t^(x-1)}{-e^-t} dt
　　　　= 0 + x∫[0,∞] {t^(x-1)}{e^-t} dt
　　　　= x Γ(x).
それと
Γ(1) = ∫[0,∞] {t^0}{e^-t} dt
　　　= [ -e^-t ]_{t=0,∞}
　　　= lim[t→∞] -e^-t - (-e^-0)
　　　= 0 - (-1)
　　　= 1.
より、 n が自然数のとき
Γ(n) = (n-1)！ が帰納的に示される。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
天下りでこのガンマ関数の式が出てきたので、どうやって導出したのかが知りたいのです。

お礼日時：2024/06/20 21:01