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A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
行列A を「対角化する」というのは、
A = PD(P^-1), D は対角行列 という式を作るという意味で、
D だけを求めるってことではないんです。
単に、そういう言葉の約束です。
行列を対角化する目的は、べき乗 A^n を求めるためであることが多く、
A^n = (PD(P^-1))^n = P(D^n)(P^-1)^n とやったり、
漸化式 v[n+1] = A v[n] を解くために v[n] = A^(n-1) v[1] の右辺に
この式を使ったり、
微分方程式 dv/dt = A v を d(P^-1)v/dt = D (P^-1)v と変形して
(P^-1)v の成分ごとに解いたりしますが、
どんな使い方のときも、最終的な解を得るには D だけでなく P も使います。
A と D の関係を表す係数は無しには済まないのです。
No.2
- 回答日時:
もう一つ
対角化はたいてい、対角化することだけが目的ではありません。
応用によって、たいていはその時は変換に使った固有ベクトルを
並べた行列の内容が必要になることが多々あるのです。
例えば、1階のn次ベクトル微分方程式を対角化を利用して
座標変換し、n個の独立の微分方程式に分解できたりしますが
そうやって得られた微分方程式を解いて得られた答えを元の
座標系に変換するには、固有ベクトルを並べた行列の内容が
必要になります。
要するに、対角化と固有ベクトルはセットで使う方が有用
ということを覚えておいてください。
No.1
- 回答日時:
n次の正方行列を対角化する場合
n個の一次独立な固有ベクトルが必要だけど、
一次独立に出来ない場合が有り、その場合対角化出来ません。
たとえば
3 1
0 3
の対角化を試みてみましょう。固有値は簡単に求まりますが対角化は
出来ません。
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