数１、2の問題です。手書きの回答は間違っていて、正しい答えは4√13/3です。考え方を教えてください

数１、2の問題です。手書きの回答は間違っていて、正しい答えは4√13/3です。考え方を教えてください。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/28 07:54

蛇足かもしれませんが　

PからQからBCへの垂線(QR , QS)との交点をTとすると
相似形から　PT=2*DR=4 また
QT:TP=BD:BA=4:6 から
QT=4*(2/3)=8/3
よって　三平方定理から
PQ=√ ４^2 +(8/3)^２ =4√13 /3

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/28 07:21

寝ながら思いついた解法; 補助線を使った初等幾何学による方法で

Qの垂線とBCとの交点をR ,
ADと R との延長線との交点をSとすれば
△ABD ∽　△SRD ∽　△SPQ 　より

∠BAS=∠ASQ から　tan∠BAS=4/6=tan∠ASQ
また　BD:DR=AB:SR=AD:SD から　SD=√13
故に　PQ=PS tan ∠ASQ=PS tan∠BAS=2√13 (4/6)=4√13　/3

sin cos tan を使わなくても　三角関数は比を関数化したものだから
同じく　AB:BD=PS:PQ だから
∴　6:4=2√13 : PQ
∴　PQ=4*2√13 /6=4√13 /3

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/26 23:37

N04 訂正

BA ⊥ BC から　→a ・→b　= 0 が抜けていました

k は　何倍かわからないので　k 倍としました

→BA=6a
→BC=8b とおいたのは　計算しやすいからで
a・a=b・b=1 　としました

また　No3 の解法で　点Q　から　点と距離の公式でも出せるが
三平方の定理で十分ですね！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/26 23:29

ベクトルの内積による解法;

Qからx軸への垂線との交点をR また
BA ⊥ BC から　→a ・→b　..................................(0)
→BA=6a
→BC=8b とおけば
→PD=(1/2)→AD=(4b-6a)/2=2b-3a
→PQ・→DA= 0 から　→PQ・(3a-2b)= 0 ..............(1)
また
→PQ=→PD+→DR+→RQ=(2b-3a)+2b+ k a =(k-3)a+4b ......(2)
とおけば (1)より
{(k-3)a+4b}・(3a-2b)= 0 から また (0)より
3(k－3)a・a　‐　8　b・b=0
a・a = b・b =1 と定義しているから
3(k－3)　‐　8　= 0
∴　k=3+8/3=17/3 となるから (2)から
→PQ=(17/3 -3)a +4b=8a/3 +4b
|→PQ|=√{(8/3)^2 +4^2 }=√{(64/9)+16 }=4√13　/3

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/26 15:06

座標を使えば簡単にでるよ

Bを原点にすれば
P(2,3)
直線AD; y= - 6x/4 +6 から
点Pを通る法線は　y-3= 4(x-2)/6
この直線と x=6 との交点がQなので
その時のyは　4(6-2)/6 +3=8/3 +3=17/3 から
Q(6,17/3) したがって
PQ=√(6-2)^2 +(17/3 -3)^2=√　16+(8/3)^2
=√　(9*16+8*8)/3^2=4√13　/3

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2024/07/26 14:36

△ABCにおいて　tanC=6/8=3/4

Qは円ADCの外心だから　AQ=QD=QC
∠ACDは孤ADの円周角なので　また
△AQP合同△DPQなので　∠ACD=∠AQP=∠DQP
三平方の定理からPD=√13
よって　
PQ=PD tan∠QDP=√１３　tan (90°－∠DQP)=√13 / tan ∠DQP
=√１３ / tan BCA=√13 / (3/4)=4√13 /3

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/25 00:11

まずは、△ABD は∠Bが直角の直角三角形ですから、P はAD上にあり、AD の中点です。

また、外心ですから
Q：AC, AD, DC の中点を通る垂線の交点
ということになり、「PQ の長さ」は「DC 上の長さ」であることが分かります。

そして、△PQA は∠Pが直角の直角三角形で、
　PA：△ABD の半径
　QA：△ACD の半径
であることが分かります。

ここまで分かれば、あとは各々の長さを求めればよい。

AD = √(6^2 + 4^2) = √52 = 2√13

外心ですから、正弦定理を使って、
△ABD の外心の半径を Rb とすると
　AD/sin∠B = 2Rb
ここで
　∠B = 90°
なので
　Rb = (1/2)AD = √13

△ACD の外心の半径を Rc とすると
　AD/sin∠C = 2Rc
ここで
　sin∠C = AB/AC = 3/5
なので
　Rc = (5/6)AD = (5/3)√13

△PQA は直角三角形なので、三平方の定理より
　PQ^2 = QA^2 - PA^3 = Rc^2 - Rb^2 = [(5/3)^2 - 1^2] * 13
　　　　= (16/9) * 13
よって
　PQ = (4/3)√13

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。すごく分かりやすかったです。助かりました。

お礼日時：2024/07/25 08:18