有界はどうつかいますか？

Question

https://imgur.com/a/75dQGrM

どこでまちがえたのかわかりませんけど、
（１）からできない
できないていうより、あてると思わない。

同伴方程式の特性法定積
z^2+2z+1=0を解いて基本回の２つ
x1 = e^-t
x2 = te^-tを得る
よってこの同伴方程式の一般かい（もとの非同次方程式のよ関数）は
X = C1e^-t + C2 te^-t
で、あとは特殊解を求める
基本回２つから特殊解を求めるのに代ゆして
x0 = -x1∫x2R/w(x1,x2)dt+x2∫x1R/w(x1,x2)dt
に代入して(ロンスキアンw = e^-2t), (R =cost) 
で一般かいは特殊解とよかんすうの和なので
x = X + x0 = 1/2sint+C1e^-t+C2te^-t

t ->∞で有界ならなにかわからないです

(2), (3) はもっとわかりません。
どうやってとくか方法だけでもいいから教えて下さい

ありものがたり · Accepted Answer

＞ わたしも（２）の話ししてます。

それなら、そう書けばいいのにな。
No.5 の「お礼」欄を見たら、普通は（１）の話だと思うでしょ。

(3)
No.3 の変形では、(e^-t)x^2 が消えるかわりに
(e^-t)xx’ が現れてしまうから、線型微分方程式になってなかった。

(e^-t)x^2 - 2dx/dt + x = 0. を眺めて
各項の x の次数と e^-t の次数を考えると、
両辺に e^-t を掛ければ x と e^-t の次数が同じになることに気づく。
{ (e^-t)x }^2 - 2(e^-t)dx/dt + (e^-t)x = 0.

{ (e^-t)x }’ = -(e^-t)x + (e^-t)x’ を使って、この式から x’ を消すと
{ (e^-t)x }^2 - 2{ (e^-t)x }’ - (e^-t)x = 0.
y = (e^-t)x と置けば、少し簡単に書けて
y^2 - 2y’ - y = 0.

y^2 の項があり、この式は「線型微分方程式」ではないが、
「変数分離形」になっているので、容易に解ける。
y’ = (y^2 - y)/2 より
dt/dy = 2/(y^2 - y) = 2/{ y(y-1) } = 2{ 1/(y-1) - 1/y },
ｔ = 2∫{ 1/(y-1) - 1/y }dy = 2{ log(y-1) - log(y) } + C　(Cは定数).
よって、
log{ (y-1)/y } = (t-C)/2,
1 - 1/y = e^{ (t-C)/2 },
y = 1/( 1 - e^{ (t-C)/2 } ).

ありものがたり · Answer

＞ x-y と y-x がみえないの？

なに、(2) の話なの？
(2) の回答をしたのは No.3 で、
No.1 → No.2 → No.5 → No.7 → No.8 は
(1) の話題じゃない。

(2)
dx²/dt² + 2dx/dt + x - y = cos t,　←[1]
dy²/dt² + 2dy/dt + y - x = 0.　　←[2]
の話なら、No.3 で回答したとおり...

辺々 [1]+[2] して　d(x+y)²/dt² + 2d(x+y)/dt = cos t,
辺々 [1]-[2] して　d(x-y)²/dt² + 2d(x-y)/dt + 2(x - y) = cos t.
u = x + y,　←[3]
v = x - y　←[4]
で置換すれば、
du²/dt² + 2du/dt = cos t,　　　←[5]
dv²/dt² + 2dv/dt + 2v = cos t.　←[6]
これを解けと言っている。

[5][6] それぞれの解き方は、(1) とほぼ同様。
それを [3][4] で x, y に戻せば、(2) の解になる。

ありものがたり · Answer

＞ 理由は、y と ｘ がたがいに依存してるからだとは思うけど

ｙ て何やねんな？
(1) の問題文と、質問文中の解法と、No.1 の解説と
どこに y があんねん。ふざけたらあかんで。

ありものがたり · Answer

＞ なにか根本的にちがうとおもいました。

何がどう違うと思うのかを指摘せずに、そういう言い方は、
数学以前に人間としてどうなの？

mtrajcp · Answer

(2)

ありものがたり · Answer

＞ みつかりません。

関数 2Acos(t + B) が関数 cos t と等しくなるような
A, B の例として、 A = 1/2, B = 0 を見つけられない
って意味か？ それは難儀だな。

mtrajcp · Answer

(1)

ありものがたり · Answer

(2)
u = x + y,
v = x - y
で置換して u, v についての微分方程式にしたら、
(1)と似た感じで u, v が求まる。

(3)
問題の微分方程式を t で微分したものと
微分方程式自身とを比較すると、
式から (e^-t)x^2 という項が消去できる。
-2x’’ + ( 2(e^-t)x - 1 )x’ + x = 0
となって、これは線型微分方程式だね。

とりあえず、このヒントで一度自分で考えてみて。

ありものがたり · Answer

違った！
「t → -∞ で」有界な解か。

lim[t→-∞] e^-t = +∞,
lim[t→-∞] te^-t = -∞.
だから
C1 = C2 = 0 の場合だけだな。
Sorry.

ありものがたり · Answer

なんか、公式を暗記して一生懸命やってるようだけど...
特殊解は、ヤマカンで x = A sin(t + B) でも代入してみると、
d²x/dt² + 2dx/dt + x = -Asin(t + B) + 2Acos(t + B) + Asin(t + B)
　　　　　　　　　　= 2Acos(t + B)
となって、 A = 1/2, B = 0 で十分なことが見つかる。
よって、x = (1/2)sin t + C1 e^-t + C2 te^-t. {C1, C2 は定数}　←[1]

この解のうち、t→+∞ で有界なものを答えれば良いわけだが、
[1] の解は、C1, C2 の値によらず t→+∞ で ∞ 発散しないので、
全て有界。 [1] のまま答えれば良い。

有界はどうつかいますか？

＞ わたしも（２）の話ししてます。

＞ x-y と y-x がみえないの？

＞ 理由は、y と ｘ がたがいに依存してるからだとは思うけど

＞ なにか根本的にちがうとおもいました。

(2)

＞ みつかりません。

(1)

(2)

違った！

なんか、公式を暗記して一生懸命やってるようだけど...

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＞わたしも（２）の話ししてます。

＞理由は、y とｘがたがいに依存してるからだとは思うけど

＞なにか根本的にちがうとおもいました。

＞みつかりません。