微分方程式についてです。 xy'-2y＝x^3＊e^x の一般解を求めよという問題について、特解を求

微分方程式についてです。
xy'-2y＝x^3＊e^x の一般解を求めよという問題について、特解を求める時、どう置けばいいですか？
ちなみに、基本解はy＝cx^2 (cは積分定数)になりました。特解を試行錯誤してもうまくいかず苦戦してます。
数学得意な方教えてください。よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/01 06:23

y = ux^2 で変数変換すると、

xy’ - 2y = (x^3)e^x は
(x^3)(u’ - e^x) = 0 になる。

u’ - e^x = 0 を解いて、
u = e^x.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/08/06 01:39

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/08/01 05:52

特解を　y=xⁿexp(x) とおき(テキトー)、代入すると

　左辺=x{nxⁿ⁻¹exp(x)+xⁿexp(x)}-2xⁿexp(x)
　　　={(n-2)xⁿ+xⁿ⁺¹}exp(x)

これが、x³exp(x) となるには n=2 であればよい。つまり特解は
　x²exp(x)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2024/08/06 01:39