毎日毎日暑すぎて平方完成する気も起きません。ギリギリの体力で実数x,yについて 2(x²+1)(y

Question

毎日毎日暑すぎて平方完成する気も起きません。

ギリギリの体力で実数x,yについて
2(x²+1)(y²+1)≧3(x+y) 
が成り立つことを示そうとしています。

左辺-右辺をxの二次式と見て平方完成する…のでしょうか？
でもこのクソ暑いのにそんなことやってられませんよね？
残されたyの式も想像しただけで暑苦しい。

読んでいるだけで汗がひいていくような、爽やかな気分にさせてくれるような、
酷暑の真っ只中、一服の清涼剤となるような証明はございませんでしょうか？

syotao · Accepted Answer

No.8のつづき、
1変数にしてもだいぶむづかしいですね、
色々考えてつぎのようにしました：
No.8から
f/2＝(x²+1)²-3xにおいてx＜0ならあきらかにf/2＞0なので
x＞0の時を考えると、次のように因数分解できる、
(x²+1)²-3x＝[x²+1－√(3x)][x²+1＋√(3x)]
右辺の後ろのかっこは＞0だから前のかっこ内をgとし
√x＝ｚとすれば
g＝z⁴＋1－√3z＝z⁴－z²＋z²－√3z＋1＝(z²－1/2)²＋(z－√3/2)²＞0
となってｘ＞0でもf/2＞0が証明されます。

tknakamuri · Answer

>f(x)＝2[(x²+1)²-3x]の最小値を調べることに帰着すると思うけど

同意します。やってみました。

微分すると
f'(x) = 8x^3 +8x -6
停留点は無理やりニュートン法で x ≒ 0.56736(他は複素根)
#解析解は3次方程式だから求まるけど、
#sympyにやらせたら非常に複雑で暑苦しいので省略。

最小値は f(0.56736) ≒ 0.09067 > 0

syotao · Answer

f/2＝(x²+1)²-3xの最小値をとるｘについては
微分して＝0とおいた方程式
4x³＋4x－3＝0の解ということだけども
これは有理数の解がないので
最小値もかんたんな有理数の値をとるとは考えにくい。
なので最小値を意識した不等式の証明はむずかしいと
思いますが....。

mtrajcp · Answer

平方完成

syotao · Answer

f=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)が最小値をとるx、yの関係は
ðf//ðx＝0、ðf/ðy＝0から出る。
第1式を1+x²倍、第2式を1+y²倍して辺々引いて4で割ると
(x-y)(x²y²＋x²-3/4x＋y²-3/4y+1)＝0　となり
左辺の後ろのかっこ内はその第2項以降を平方完成すれば＞0がわかるから
x-y＝0、x=y　なのでfの式でy＝xとおいて
f＝2[(x²+1)²-3x]の最小値を調べることに帰着すると思うけど
いかが？

mtrajcp · Answer

f=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)

とする

f
=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)
=2(x²+1)(y-3/{4(x²+1)})²+{16(x²+1)²-9-24x(x²+1)}/{8(x²+1)}
=2(x²+1)(y-3/{4(x²+1)})²+(16x^4-24x^3+32x²-24x+7)/{8(x²+1)}
≧(16x^4-24x^3+32x²-24x+7)/{8(x²+1)}
だから

g(x)=16x^4-24x^3+32x²-24x+7
とすると
f≧g(x)/{8(x²+1)}

g'(x)=8(8x^3-9x²+8x-3)
g"(x)=16(12(x-3/8)x²+37/16)>0
だから
g'(x)は単調増加
g'(0)=-24<0<32=g'(1)
g'(a)=8(8a^3-9a²+8a-3)=0となるような0<a<1がある

a≒0.5484122…

x<a のとき　g'(x)<0 だから　g(x)は減少
x>a のとき　g'(x)>0 だから　g(x)は増加
だから
x=a のときg(x)は最小となる
g(x)≧g(a)

最小値
g(a)
=16a^4-24a^3+32a²-24a+7
=(8a^3-9a²+8a-3)(2a-3/4)+37a²/4-12a+19/4
=(37a²-48a+19)/4
>0.951
>0

だから
g(x)≧g(a)>0
だから
f≧g(x)/{8(x²+1)}>0

ありものがたり · Answer

素朴に、2変数関数の値域で攻めてみようか。

g(x,y) = 2(x²+1)(y²+1) - 3(x+y) と置くと、
∇g(x,y) = (∂g/∂x, ∂g/∂y) = ( 2(2x)(y²+1) - 3, 2(x²+1)(2y) - 3 ).
∇g(x,y) = (0,0)　⇔　x(y²+1) = 3/4 = (x²+1)y.
この式を満たす (x,y) が g(x,y) の極値点の候補となるから...

ああ、これはやはり、 x = u + v, y = u - v の置換が有効そうだな。
代入して
∇g(x,y) = (0,0)　⇔　(u²-v²)(u-v) + (u+v) = 3/4,　←[3]
　　　　　　　　　　(u²-v²)(u+v) + (u-v) = 3/4.　←[4]
辺々 [3] - [4] して、 (u²-v²)(-2v) + (2v) = 0 から
　　　　　　　　2v{ 1 - (u²-v²) } = 0 より
　　　　　　　　v = 0 または u²-v² = 1.
v = 0 の場合は、[3], [4] へ代入して
u³ + u = 3/4.　←[5]

h(u) = u³ + u - 3/4 置くと、
h’(u) = 3u² + 1 ≧ 0 + 1 > 0 より h(u) は狭義単調増加。
lim[u→-∞] h(u) = -∞, lim[u→+∞] h(u) = +∞ と合わせると、
h(u) はただひとつの零点を持つことが判る。
[5] ⇔ h(u) = 0 ⇔ u = u₀ と置く。

u²-v² = 1 の場合は、[3], [4] へ代入して
2u = 3/4.　←[6]
[6] を u²-v² = 1 へ代入すると、 v が実数でなく、不適である。

さて、g(x,y) は唯一の停留点 (x,y) = (u₀ + 0, u₀ - 0) を持つことが判ったが、
この点は極値点だろうか?
ヘッセ行列を計算してみると、
Hess[ g(x,y) ] =
　　4(y²+1)　　8xy
　　8xy　　　　4(x²+1)
となるから、
Hess[ g(u₀,u₀) ] =
　　4(u₀²+1)　　8u₀²
　　8u₀²　　　　4(u₀²+1)
より
det Hess[ g(u₀,u₀) ] = { 4(u₀²+1) }² - { 8u₀² }²
　　　　　　　　　= -48u₀⁴ + 32u₀² + 16
　　　　　　　　　= -16(u₀ + 1)(u₀ - 1)(3u₀² + 1).

h(u) の単調増加と
h(-1) = -11/4 < 0,
h(1) = 5/4 > 0
より、
-1 < u₀ < 1.
よって、
det Hess[ g(u₀,u₀) ] > 0.

g(u₀,u₀) は g(x,y) の極値点であることが判る。
Hess[ g(u₀,u₀) ] の第1行1列成分が 4(u₀²+1) > 0 であることから、
g(u₀,u₀) は極小値である。

開領域 (x,y) ∈ 実数² で定義された g(x,y) の
唯一の極小値であることから、g(u₀,u₀) は g(x,y) の最小値である。

g(x,y) ≧ g(u₀,u₀) = 2(u₀²+1)(u₀²+1) - 3(u₀+u₀)
　　　　　　　= 2u₀⁴ + 4u₀² - 6u₀² + 2.
　　　　　　　　　　
u₀³ + u₀ = 3/4 のとき 2u₀⁴ + 4u₀² - 6u₀² + 2 ≧ 0
であることを示せば目的を達したことになるが、これは成り立つだろうか？

F₁(u) = 2u⁴ + 4u² - 6u² + 2 と置く。
F₁(u) = (u³ + u - 3/4)(2u) + (-4u² - (3/2)u + 2) より
F₁(u₀) = -4u₀² - (3/2)u₀ + 2.
u₀³ + u₀ = 3/4 のとき -4u₀² - (3/2)u₀ + 2 ≧ 0 が示せればよい。

F₂(u) = -4u² - (3/2)u + 2 と置と、
F₂(u) = -4(u + 3/16)² + 137/64.
　　　= -4(u + 3/16 + √134/8)(u + 3/16 - √134/8)
より
F₂(u) ≧ 0 ⇔ -3/16 - √134/8 ≦ u ≦ -3/16 + √134/8.

h( -3/16 - √134/8 ) = (-8691 - 819√67)/4096 < 0,
h( -3/16 + √134/8 ) = (-8691 - 819√67)/4096 > 0
と h(u) の単調性より。
h(u) = 0 となる唯一の u である u = u₀ は、
-3/16 - √134/8 < u₀ < -3/16 + √134/8 の範囲にある。
よって、F₂(u₀) ≧ 0.

これで題意は示されたことになるのだが、
熱帯夜の暑さを倍増する熱苦しい計算だったな。
なんか、チャラい解法は無いの？

ありものがたり · Answer

これは、真面目に微分しないとアカンやつかなあ...
暑くてダルいんで、なるたけチャチャっと済ませたかったんだけど。

No.2 の間違い訂正としては、
-2 ≦ s ≦ 2 のとき s⁴/8 + s² - 3s + 2 ≧ 0 であることを
(前のような間違った理由ではなく)きちんと示せばよくて、
Mathematica先生によると
全実数 s に対して  s⁴/8 + s² - 3s + 2 ≧ 0 であるらしい。　←[1]

やってみよう。
f(s) = s⁴/8 + s² - 3s + 2 と置く。
f’(s) = s³/2 + 2s - 3,
f”(s) = (3/2)s² + 2 である。

全ての実数 s に対して f”(s) ≧ 0 + 2 > 0 であるから、
f’(s) は狭義単調増加。
lim[s→-∞] f’(s) = -∞, lim[s→+∞] f’(s) = +∞ と合わせると、
f’(s) はただひとつの零点を持つことが判る。
f’(s) = 0 ⇔ s = s₀ と置く。
f(s₀) は、f(ｓ) の唯一の極小値であり、よって最小値である。

さて、f(s₀) ≧ 0 が成り立てば、[＊] が示されたことになる。
f’(s₀) = s₀³/2 + 2s₀ - 3 = 0 の条件下に
f(s₀) = s₀⁴/8 + s₀² - 3s₀ + 2 ≧ 0 は言えるか？

f(s₀) = s₀⁴/8 + s₀² - 3s₀ + 2
　　= (s₀/4) (s₀³/2 + 2s₀ - 3) + (s₀²/2 - (9/4)s₀ + 2)
　　= (s₀/4) f’(s₀) + (1/2){ (s₀ - 9/4)² - 17/16 }
　　= (1/2){ s₀ - (9 - √17)/4 }{ s₀ - (9 + √17)/4 }
だから、
s₀ ≦ (9 - √17)/4 または s₀ ≧ (9 + √17)/4 であればよい。

f’( (9 - √17)/4 ) = (345 - 81√17)/32 > 0,　←[2]
ｆ’(s) は単調増加だから、 f’(s) = 0 となる s = s₀ は
s₀ < (9 - √17)/4 である。

...できた。
こんどは真面目にきちんと示したけど、ちょっと息切れしたよ。
もっとサラっとやる方法が別にあるんだろうな...

[2] のところで、実際に代入せずに
f’(s) を (s²/2 - (9/4)s + 2) で割るくらいじゃあ
たいして楽にならないし。

stomachman · Answer

>  F(1.1,V)の極小ってV=0ではないのでは？

あらら、たしかに。って…うっかりツラレたけれども、
　　(x²+1)(y²+1)= x²y² + x² + y² + 1 ≧ x² + y² + 1
なんだから
　　x² + y² + 1≧ 3(x+y)/2
だけで足りるんじゃん。
　　F(U,V) = (U+V)² + (U-V)² + 1 - (3/2)U
　　　= 2(U² + V²)  + 1 - (3/2)U
と書けば極小がF(U,0)上にあるのは（今度は）間違いなしで
　　F(U,0) = 2U² - (3/2)U + 1
は判別式Dが負、そして
　　F(0,0)＞0

stomachman · Answer

[1] おなじみの変数変換
　　(x,y) = ((U + V), (U - V))
で
　　F(U,V) = ((U + V)²+1)((U - V)²+1) - (3/2)U
と書き換える。F(U,V)の極小がF(U,0)上にあることはすぐわかるから、
　　∀U(F(U,0) ≧ 0)
を示せばよし。
[2] 改めて
　　S(U) = (U²+1)² 
　　T(U) = (3/2)U
とすると、明らかに
　　∀U(S(U) ≧ 1)
より　
　　∀U(U ＜ 2/3 ⇒ T(U) ＜ S(U))
[3] 次に
　　S'(U) = dS/dU = 4(U²+1)U
　　T'(U) = dT/dU = 3/2
とおけば
　　S'(2/3) = 4((2/3)²+1)(2/3) ＞ 4(2/3) ＞ T'(2/3) = 3/2
　　S''(U) = dS'/dU ＞ 0
より
　　∀U(U ≧ 2/3 ⇒ S'(U) ＞ T'(U))
しかも
　　S(2/3) ＞ T(2/3)
なので
　　∀U(U ≧ 2/3 ⇒ S(U) ＞ T(U))

毎日毎日暑すぎて平方完成する気も起きません。 ギリギリの体力で実数x,yについて 2(x²+1)(y

No.8のつづき、

>f(x)＝2[(x²+1)²-3x]の最小値を調べることに帰着すると思うけど

f/2＝(x²+1)²-3xの最小値をとるｘについては

平方完成

f=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)が最小値をとるx、yの関係は

f=2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)

素朴に、2変数関数の値域で攻めてみようか。

これは、真面目に微分しないとアカンやつかなあ...

> F(1.1,V)の極小ってV=0ではないのでは？

[1] おなじみの変数変換

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