毎日毎日暑すぎて平方完成する気も起きません。 ギリギリの体力で実数x,yについて 2(x²+1)(y

毎日毎日暑すぎて平方完成する気も起きません。

ギリギリの体力で実数x,yについて
2(x²+1)(y²+1)≧3(x+y)
が成り立つことを示そうとしています。

左辺-右辺をxの二次式と見て平方完成する…のでしょうか？
でもこのクソ暑いのにそんなことやってられませんよね？
残されたyの式も想像しただけで暑苦しい。

読んでいるだけで汗がひいていくような、爽やかな気分にさせてくれるような、
酷暑の真っ只中、一服の清涼剤となるような証明はございませんでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/04 17:50

対称式はどう？

s = x+y, p = xy と置くと、
x, y が実数であることから
判別式 = s² - 4p ≧ 0.　⇔　p ≦ s²/4.

左辺 = 2(x²+1)(y²+1)
　　= 2(x²y² + x² + y² + 1)
　　= 2(x²y² + (x+y)² - 2xy + 1)
　　= 2(p² + s² - 2p + 1)
より、
左辺 - 右辺 = 2(p² + s² - 2p + 1) - 3s
　　　　　= 2p² - 4p + 2+ 2s² - 3s
　　　　　= 2(p - 1)² + 2s² - 3s.

s²/4 ≦ 1 ⇔ (-2 ≦ s ≦ 2) のとき、
左辺 - 右辺 ≧ 2(s²/4 - 1)² + 2s² - 3s
　　　　　= s⁴/8 - s² + 2 + 2s² - 3s
　　　　　= s⁴/8 + (s - 1)(s - 2)
　　　　　≧ 0 + 0.

s²/4 > 1 ⇔ (s < -2 または s > 2) のとき、
左辺 - 右辺 ≧ 2(1 - 1)² + 2s² - 3s
　　　　　= 2(s - 3/4)² - 9/8
　　　　　≧ 2(2 - 3/4)² - 9/8
　　　　　= 2
　　　　　> 0.

この回答へのお礼

s=1.5のとき(s-1)(s-2)<0となりませんか？

お礼日時：2024/08/04 18:34

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/08/04 16:24

2(x²+1)(y²+1)≧3(x+y)

2(x²+1)(y²+1)-3(x+y)≧0
2x²y²+2x²+2y²+2-3x-3y≧0
2x²y²+(2x²-3x+1)+(2y²-3y+1)≧0

n=2x²-3x+1, m=2y²-3y+1 の最小値を求めて、
その最小値の値と その時の x, y の値の 2x²y² とを比較すれば 良いのでは。
平方完成しなくても 最小値をとる x, y の値は 分かりますよね。
あえて 最終的な 答えは 書きません。

この回答へのお礼

こんなナマクラなやり方で示せるわけがない！！怒

お礼日時：2024/08/04 16:58