y=[2x]-[x]のグラフの書き方

y=[2x]-[x]のグラフ

[x]=nのときn≦x<n+1であり、
2倍すると2n≦2x<2n+2だから、[2x]=2nまたは[2x]=2n+1

[2x]=2nはわかりますが、[2x]=2n+1は分かりません。どのように考えますか？

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/31 22:05

> グラフの書き方

がわからんのでしたら、とりあえず

(-1≦x＜-1/2) のときの [2x]と[x]
(-1/2≦x＜0) のときの [2x]と[x]
(0≦x＜1/2) のときの [2x]と[x]
(1/2≦x＜1) のときの [2x]と[x]
(1≦x＜3/2) のときの [2x]と[x]
　：
ぐらいを調べてみれば「結局[x+1/2]と一緒だな」とわかるんじゃないかな。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/31 18:29

n ≦ x < n+1 のとき [x] = n だってことは、

x = 2u を代入して、 n ≦ 2u < n+1 のとき [2u] = n だってことですよね。

この式は、 n/2 ≦ u < (n+1)/2 のとき [2u] = n とも書けます。
n が偶数 n = 2m の場合は
m ≦ u < m+1/2 のとき [2u] = 2m だし、
n が偶数 n = 2m+1 の場合は
m+1/2 ≦ u < m+1 のとき [2u] = 2m+1 です。

変数名を入れ替えて、これを
ｎ ≦ ｘ < ｎ+1/2 のとき [2ｘ] = 2n,
ｎ+1/2 ≦ ｘ < ｎ+1 のとき [2ｘ] = 2ｎ+1
と書いても同じことです。

これを使って、
ｎ ≦ ｘ < ｎ+1/2 のとき ｙ = [2ｘ] - [x] = 2n - n = n,
ｎ+1/2 ≦ ｘ < ｎ+1 のとき y = [2ｘ] - [x] = (2ｎ+1) - n = n+1
になりますね。