平面波の解（2）

平面波の解がcos（kz-ωt）になる理由が分かりません
なぜ波数kと位置zの積を取るのですか

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/11/16 12:28

ωt　に疑問は無いのですか?

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/16 12:12

No.2 です。

失礼しました。修正あり。

＞m を整数として
＞　z = m/k　（波数 k の整数倍）
＞のときに
＞　kz = m
＞となって元に戻る周期関数になります。

の「波数 k の整数倍」は間違いで、
「角度波長 1/k」（つまり 1/k = λ/2π）の整数倍
に訂正します。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/16 12:02

＞なぜ波数kと位置zの積を取るのですか

ああ、疑問点はそこですか？

cos にせよ sin にせよ、三角関数は「周期 2π の周期関数」です。
座標 z に関しては「波長 λ」を使えば z=λ で１周期になります。
つまり、「角度」（ラジアン）でいえば
　z/λ = 2π　　　①
のときに cos, sin が１周期で元に戻ります。
m を整数として
　z = mλ
のときに
　z/λ = 2mπ
となって元に戻る周期関数になります。

「波数 k」とは、「単位長さに含まれる波の数」であり、通常は「波長の逆数」つまり「1/λ」ですが、波動力学ではその「単位長さ」を「2π」とするのが普通です。
その場合には
　k = 2π/λ
となり、そのとき①は
　kz = 1
になって、そのときに cos, sin が１周期で元に戻り、
m を整数として
　z = m/k　（波数 k の整数倍）
のときに
　kz = m
となって元に戻る周期関数になります。

つまり
　kz = 2π(z/λ)
ということです。

時間の方を、「周期 T」を使って
　ω = 2π/T
と書けば、波動の式は
　cos[2π(z/λ - t/T)]
となって理解しやすくなると思います。
これであれば、座標は「波長 λ の整数倍」、時間は「周期 T の整数倍」で元に戻る（角度が 2π の整数倍になる）周期関数であることが分かりやすくなると思います。
「波数 k」は、この式で
　k = 2π/λ
と置き換えたものです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/11/16 11:38

そもそもとして, その「k」とやらはどこから出てきたものなの?