3連勝すると優勝。その確率は？

AとBがある試合をし、先に３連勝したら優勝とする。
Aが勝つ確率は1/3
Bが勝つ確率は2/3
このときAが優勝するときの確率を考えたんですが、全くとき方が思いつきません。

2連勝の場合は等比数列の和を使い、答えが出せましたが、
3連勝となるとかなりのパターンがあり分かりません。

No.2 回答者： yuyu_2525 回答日時： 2005/05/21 16:27

Ａがｎ連勝して終了する時に

どのような経緯にせよ「～Ａ…Ａ」で終わります。
Ｂの場合は「～Ｂ…Ｂ」で終わります。
必ずそのどちらかでゲームが終わるわけですから、
それ以外は排除して考えてみます。

Ａがｎ連勝して終了する時の確立は(1/3)^n
Ｂがｎ連勝して終了する時の確立は(2/3)^n
よって求める確立は
　(1/3)^n/{(1/3)^n+(2/3)^n}
分子分母に3^nをかけてやると
　1^n/(1+2^n)=1/(1+2^n)
とでます。
したがって、
Ａが2連勝の時は1/(1+2^2)=1/(1+4)=1/5
Ａが3連勝の時は1/(1+2^3)=1/(1+8)=1/9
でどうでしょうか。

この回答への補足

>Ａがｎ連勝して終了する時に
>どのような経緯にせよ「～Ａ…Ａ」で終わります。

先にBがｎ連勝してしまう場合があるので
「どのような経緯にせよ」は間違っていると思うんですが。

補足日時：2005/05/22 08:23

No.1 回答者： at9_am 回答日時： 2005/05/21 16:24

３連勝の場合、

Aが３連勝する確率＝1/27
Bが３連勝する確率＝8/27
ですので、勝負がついた場合、Aが勝つ確率は1/9です。

先に３勝であれば
Aが３連勝＝1/27
Bが１勝　＝3*2/3*1/27=2/27
Bが２勝　＝3*4/9*1/27=4/81
の和なので31/81となります。