部分空間に関する問題でのゼロベクトルの取り扱い

W={ x↑ = ( t[x1 x2 x3] )∈R^3 |(x1 - x2 + 2x3 = 0, 2x1 + 3x2 - x3 = 0) }

がR^3の部分空間であるかどうか確認する問題です。解説には
　　 ┌　　　　 ┐
　A=│1　-1　 2│
　　 │2　 3　-1│
　　 └　　　　 ┘
としたとき、ゼロベクトル o↑は Ao↑=o↑を満たすので o↑∈W とあったのですが

　　Ao↑= o↑

の左右のゼロベクトルは異なるはずです。
　左： t[0 0 0]
　右： t[ 0 0]

　こういう問題では、ゼロベクトルに関しては区別しないでいいのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/02/26 21:23

当然、区別しなくてはなりません。

ベクトル空間の定義は...
可換群 (V,+) と体 k の間に k×V→V 型の演算 ・ があって、
以下の公理が成り立つとき、(V,k) の組をベクトル空間という。
公理：
k の(乗法)単位元を 1 として、ｋ の任意の元 a, b と
V の任意の元 x, y について
　1・x = x,
　(ab)・x = a・(b・x),
　(a+b)・x = a・x + b・x,
　a・(x+y) = a・x + a・y.
が成り立つ。
...というものでした。
群（V,+)の単位元が、ベクトル空間 V の零ベクトルです。

異なる群の単位元は別々のものなので、
異なるベクトル空間の零ベクトルは当然別々のものです。

どのベクトル空間の零ベクトルかを明示して
A(o↑_R^3) = (o↑_R^2) のように書くのが本来ですが、
省略して Ao↑= o↑ と書いても
左辺の o↑ が R^3 の o↑,
右辺の o↑ が R^2 の o↑ であることは理解できるよね？
というお互い大人な了解の下で
式を簡潔に書くのはありえることです。

厳密に書くことで、却って式が読みにくいということも
起こりますから。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/02/26 20:29

ゼロベクトル[0;0;0]は A[0;0;0]=[0;0]を満たすので [0;0;0]∈W

この回答へのお礼

ああ、そういうことなのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2025/02/26 21:14

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/02/26 20:18

ゼロベクトルだって, 次元が違えば当然別のものだしそこは区別が必要.