n次交代式はしたの写真のように(x-y)(y-z)(z-x)(n-1次の基本対称式)表せるらしいので

n次交代式はしたの写真のように(x-y)(y-z)(z-x)(n-1次の基本対称式)表せるらしいのですがなぜですか。(x-y)(y-z)(z-x)まではわかりますが次の因数の理由がわかりません。なぜ写真ではxy+yz+zxだけじゃなくx²+y²+z²もつかってるのか。なぜ1次の対称式であるx+y+zは含まれていないのか。教えてください

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/24 16:40

X=y-z

Y=z-x
Z=x-y

S=X+Y+Z
T=XY+YZ+ZX
U=XYZ

X^n+Y^n+Z^n=K(n)

とすると

S=X+Y+Z=0
T=XY+YZ+ZX=xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2
U=XYZ=(y-z)(z-x)(x-y)
K(0)=3
K(1)=X+Y+Z=0

K(2)=(y-z)^2+(z-x)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
は2次対称式で基本対称式の多項式で表せる

n≧3のとき
K(n)=SK(n-1)-TK(n-2)+UK(n-3)
が成り立つから
K(n)=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)K(n-2)+(y-z)(z-x)(x-y)K(n-3)

n=3のとき
K(1)=X+Y+Z=0
K(0)=3
だから
K(3)=(y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3=3(y-z)(z-x)(x-y)
だから
n=3次交代式
(y-z)^3+(z-x)^3+(x-y)^3
=
(y-z)(z-x)(x-y)g(n-3)
g(n-3)=g(0)=K(0)=3は(n-3=0次対称式(基本対称式の多項式))
で
表せる

ある自然数mに対して
k≦mとなる自然数kに対して

n-1=2k次対称式
K(n-1)=(y-z)^{2k}+(z-x)^{2k}+(x-y)^{2k}は(基本対称式の多項式)で表せて

n=2k+1次交代式
K(n)=(y-z)^n+(z-x)^n+(x-y)^n=(y-z)(z-x)(x-y)g(n-3)
g(n-3)はn-3=2k-2次対称式(基本対称式の多項式)
で
表せると仮定する

n+2=2m+3次交代式
(y-z)^(n+2)+(z-x)^(n+2)+(x-y)^(n+2)
=
K(n+2)=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)K(n)+(y-z)(z-x)(x-y)K(n-1)
が成り立つ
↓K(n)=(y-z)(z-x)(x-y)g(n-3)だから

K(n+2)
=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)(y-z)(z-x)(x-y)g(n-3)+(y-z)(z-x)(x-y)K(n-1)
=(y-z)(z-x)(x-y){(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)g(n-3)+K(n-1)}

↓g(n-1)=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)g(n-3)+K(n-1)　とすると

K(n+2)=(y-z)(z-x)(x-y)g(n-1)

K(n-1)はn-1=2k次対称式で(基本対称式の多項式)で表せて
g(n-3)はn-3=2k-2次対称式で(基本対称式の多項式)で表せるから
g(n-1)=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)g(n-3)+K(n-1)
はn-1=2k次対称式で(基本対称式の多項式)で表せる

∴
全ての自然数kに対して
n=2k+1次交代式

(y-z)^n+(z-x)^n+(x-y)^n=(y-z)(z-x)(x-y)g(n-3)

g(n-3)はn-3=2k-2次対称式(基本対称式の多項式)
で
表せる

No.6 回答者： takoハ 回答日時： 2025/03/24 01:24

x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx) だから

(x+y+z)は入っているのはわかるし　x²+y²+z² とした方が計算が早く楽だからでは！？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/23 18:26

(n-3次の対称式) または

(基本対称式の多項式) やね。
n-3 の 3 は、(変数の個数)C2.

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/23 17:11

n次交代式は

(x-y)(y-z)(z-x)(n-1次の基本対称式)
に
表せることはできません間違いです

n=5次交代式

(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5
=
(x-y)(y-z)(z-x){5(x+y+z)^2-15(xy+yz+zx)}
の
5(x+y+z)^2-15(xy+yz+zx)
は
(n-1=4次の基本対称式)
ではなく
(n-3=2次の基本対称式)
です

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2025/03/23 15:48

ところで

「n-1次の基本対称式」
はどこから出てきたんでしょうか?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/23 13:31

因数定理を 3回使えば、

x, y, z の交代式 f(x,y,z) は (x-y)(y-z)(z-x) で割り切れ。
f(x,y,z) = (x-y)(y-z)(z-x) g(x,y,z) となる多項式 g(x,y,z) が在ることが判る。
x ≠ y, y ≠ z, z ≠ x の条件下に、この等式の x, y, z を置換してみると、
g(x,y,z) の値が変化しないことが解る。
g(x,y,z) は、 x, y, z の対称式だから、基本対称式の多項式で表せる。

写真の例で x+y+z を使わずに x²+y²+z² を使ってるのは、
単に式を書いた人の趣味。 あるいは、写真の式形のほうが
後続の小問へ繋げやすかったりするのかもしれない。しらんけど。
x²+y²+z² = (x+y+z)² - 2(xy+yz+zx) なので、
どちらで書いても大した違いはない。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/23 06:17

画像の通り

この回答へのお礼

n次交代式はしたの写真のように(x-y)(y-z)(z-x)(n-1次の基本対称式)表せることを示してほしいです

お礼日時：2025/03/23 09:55