全体100人のうちリンゴ派90人みかん派80いちご派50人のときすべての派閥に入ってる人として考えら

全体100人のうちリンゴ派90人みかん派80いちご派50人のときすべての派閥に入ってる人として考えられる最小の値を求めよ
どうやってときますか？

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/31 13:39

みただけで答えのわかる解答というは、無理なのでは？

No.3 のようにベン図を描いても、
3派共通に属する人が 20人であるような状況(のひとつ)
を図示しているだけで、それが最小値であるという情報は
図に含まれません。

この問題は、No.4 No.6 が書いているように、
8個の変数(各分派の人数)が 4本の等式と 8本の不等式を
満たしているという条件下で、そのうちの 1個の変数の
最小値を求めるものです。
等式のほうを使って何個かの変数(4個)を消去しても、
条件を満たす変数の値の組は 4次元の領域になります。
その中の、ひとつの座標の最小値を求めようというわけです。
4次元のグラフ用紙が無いと、図は描けません。

数式を使って共通部分の人数が ≧20 を満たすことを示し、
次に、実際に =20 となる例があることを挙げる方法が
普通かなと思います。

No.4 で紹介したシンプレックス法は、それとは逆に
実際に取り得る値の中でより小さい値へと改訂してゆき、
最後に最小値であることを確認して終わるというスタイルです。
やり方を知っていれば、ほぼ一本道で答えが得られます。

この回答へのお礼

参考サイトをみたのですがかなり高度な内容でした。他の問題への応用ききますか？それなら何とかして理解しようとおもうのですが、、

お礼日時：2025/03/31 13:47

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2025/03/30 21:10

＞みただけで答えのわかる解答が気になります

No2、 No5 です。
「みただけで答えが 分かる」では無いですよ。
「見ただけで 答えの見当が付く」です。
腕組みをして 問題文を眺めているだけでは 答えは出て来ません。
この問題に限らず 手を動かして やって見ないと 答えは出て来ません。

この様な問題では 問題文の条件を 紙に書いてみることです。
絵では無いですよ。一本の棒でも良いです。
「全体100人」「リンゴ派90人」「みかん派80人」「いちご派50人」
それぞれを 長さの違う棒で 書いてみれば、答えの見当が付く筈です。
勿論 長さは 定規無しで 目分量で充分です。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2025/03/30 19:29

りんごみかん派をa、

りんごいちご派をb、
みかんいちご派をc、
りんごみかんいちご派(全部派)をd
りんご単独派をA、みかん単独派をB、
いちご単独派をC
とすると
a+b-d=90 -A①
a+c-d=80 -B②
b+c-d=50 -C③
a+b+c-2d=100 -A-B-C④

①+②+③
2(a+b+c)-3d=220-A-B-C ⑤
⑤-④×2
d=20+A+B+C
A≧0、B≧0、C≧0だから、d≧20
よって dの最小値は20。

この回答へのお礼

存在の確認はいらないのですか

お礼日時：2025/04/02 23:45

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2025/03/30 12:53

＞なぜ50-30なのでしょうか

いちご派は 50人で、100人中 30人は リンゴ派又は みかん派 ですから、
残りの 20人は リンゴ派とみかん派 の両方に入っている筈です。
従って 20人が 全ての派に 入っていることになります。

NO2 で書いたように 図を書いて 考えてみましたか。
NO3 の様に 〇の図でも良いですし、
小学校で習った リボン状の 帯の図でも良いです。
図が書けたら 見ただけで 答えの見当が付く筈です。

この回答へのお礼

みただけで答えのわかる解答が気になります

お礼日時：2025/03/30 20:14

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/30 09:56

派閥が 3つあるので、各人は

どの派閥に入っていてどの派閥には入ってないか
によって 8つの分派に分けられます。
各分派の人数を
リンゴ派に入っていて他の 2つの派閥には入ってない人数 n(リ),
リンゴ派とみかん派に入っていていちご派には入ってない人数 n(リみ)
のように書くことにしましょう。
どこの派閥にも入ってない人数は n(無) とします。

この問題は、
n(無) + n(リ) + n(み) + n(い） + n(リみ) + n(リい) + n(みい) + n(リみい) = 100,
n(リ) + n(リみ) + n(リい) + n(リみい) = 90,
n(み) + n(リみ) + n(みい) + n(リみい) = 80,
n(い） + n(リい) + n(みい) + n(リみい) = 50,
n(無) ≧ 0,
n(リ) ≧ 0,
n(み) ≧ 0,
n(い） ≧ 0,
n(リみ) ≧ 0,
n(リい) ≧ 0,
n(みい) ≧ 0,
n(リみい) ≧ 0.
という条件下に n(リみい) の最小値を求めよ
という話です。

シンプレックス法で解いてみましょう。参考↓
https://www.bunkyo.ac.jp/~nemoto/lecture/or/97/s …
シンプレックス法の慣習にならって、目的変数を z = - n(リみい) として
z を最大化する問題と考えます。

基底変数　z, n(無), n(リ), n(み), n(い）, n(リみ), n(リい), n(みい), n(リみい)　定数項　増加限界
n(リみい)　0,　1,　　1,　　1,　　1,　　1,　　　1,　　　1,　　　1　　100
n(りみ)　　0,　0,　　1,　　0,　　0,　　1,　　　1,　　　0,　　　1　　90
n(りい)　　0,　0,　　0,　　1,　　0,　　1,　　　0,　　　0,　　　1　　80
n(みい)　　0,　0,　　0,　　0,　　1,　　0,　　　1,　　　1,　　　1　　50
z　 　　　1,　0,　　0,　　0,　　0,　　0,　　　0,　　　0,　　　1　　0

初期の基底変数として n(リみい), n(リみ), n(リい), n(みい) をとってみました。
このとき、連立方程式
n(リみ) + n(リい) + n(みい) + n(リみい) = 100,
n(リみ) + n(リい) + n(リみい) = 90,
n(リみ) + n(みい) + n(リみい) = 80,
n(リい) + n(みい) + n(リみい) = 50
の解が n(みい) = 10, n(リい) = 20, n(リみ) = 50, n(リみい) = 20 となって
全て ≧0 なので、この基底は実行可能領域にあります。

連立方程式の容易さから、つい
n(無), n(リ), n(み), n(い） を基底にとりたくなりますが、
そちらの解は n(無)≦0 になってしまうので、駄目です。

さてこの n(みい) = 10, n(リい) = 20, n(リみ) = 50, n(リみい) = 20,
n(無) = n(リ) = n(み) = n(い） = 0 のとき、表より z = -20 です。

次に暫定解の吟味ですが、このとき、非基底変数 n(無), n(リ), n(み), n(い） の
z の行での係数がどれも ≧0 になっている(実際 0)ので、この解は最適解です。
あれ？ 表の更新を 1度も行わずに最適解が見つかってしまいました。幸運ですね。

以上より、 z の最大値は -20。つまり, n(リみい) の最小値は 20 です。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/03/29 22:17

100=90+80+50-n(林∩み)-n(林∩苺)-n(み∩苺)+n(林∩み∩苺)

n(林∩み∩苺)=n(林∩み)+n(林∩苺)+n(み∩苺)-120

100≧n(林∪み)=90+80-n(林∩み)
n(林∩み)≧70
100≧n(林∪苺)=90+50-n(林∩苺)
n(林∩苺)≧40
100≧n(み∪苺)=80+50-n(み∩苺)
n(み∩苺)≧30

n(林∩み∩苺)
=n(林∩み)+n(林∩苺)+n(み∩苺)-120
≧20

すべての派閥に入ってる人として考えられる最小の値は

20

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2025/03/29 21:50

簡単な図を書いて 考えたら 答えになるのでは。

「リンゴ派90人みかん派80人」ですから 合計170人。
少なくとも 70人は 両方に 入っている筈です。
つまり 30人は どちらか1つだけ 好きな筈です。
「いちご派50人」ですから 50-30=20 で、
20人は 「リンゴ派90人みかん派80人」の中に、
入っていなければなりません。
従って すべての派閥に入ってる最小の人数は 20人 になります。
因みに 最大の人数は いちご派50人 全員になります。

この回答へのお礼

なぜ50-30なのでしょうか

お礼日時：2025/03/29 22:57

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2025/03/29 21:25

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この回答へのお礼

最小値の取り方がいみわからないです

お礼日時：2025/03/29 22:55