３次方程式x^3+10x+50=0

こんにちは☆代数をやっていてつまずいてしまったのですが…
ｘ＾３＋１０ｘ＋５０＝０
が、どうしても解けず困っています。。(>_<)

高校のレベルで解けるはずだと思うのですが…
全く思いつかなくて。。

どなたかヒントなどを教えて頂きたく思います。

No.4 回答者： sta_vanilla 回答日時： 2005/05/28 09:15

高校のレベルでは、３次以上の高次方程式は因数定理を用いて

２次式以下の積として分解する方法しか習わないはずです。

与式を F(x) = x^3 + 10x + 50 とおき、F(a) = 0 となるような
a を見つけることになります。
a の候補は「（定数項÷最高次の係数）の約数」ですから、ここでは

±１，±２，±５，±10，±25, ±50

となりますが、すべてを試してみるまでもなく F(a) = 0 を満たす
a は、この中には見つかりません。

したがって与えられた３次方程式は、残念ながら高校の範囲で解ける
簡単な解を持っていないことになります。
そのような問題は、難易度の高い大学入試以外では出題されません。
（大学入試の筆記テストでも過去に出題例があるかどうか分からない）

もしかして、与式の数字が違っているのではないでしょうか？

ちなみに、方程式の解（実数解のみ掲載）は

x = ( -25 + (5/9) * 2145^(1/2) )^(1/3) + ( -25 - (5/9) * 2145^(1/2) )^(1/3)

　≒ -2.801431467‥

と、恐ろしく複雑な形になってしまいますが・・・

この回答へのお礼

とてもとてもわかりやすく、ご丁寧に答えて下さって本当にありがとうございました～(>0<)☆★！

３次方程式の解き方って、そういう風に考えればヨカッタんですねぇ！私はaの候補を見つけるとき、ただやみくもに１から順番に代入していました(^^;

質問の方程式は、代数体の演習問題の中で出てきまして、どうやらその解を用いて答えを出すようだったんです。なので、てっきり簡単に解けちゃうんだろうな～って勝手に思ってしまっていました↓↓
実際はかなり複雑なんですねぇ(>0<;
わざわざ実数解まで出していただいて、とても感激です☆

本当にご親切にどうもありがとうございました(^^)♪

お礼日時：2005/05/28 11:03

No.3 ベストアンサー 回答者： laundryload 回答日時： 2005/05/27 18:47

そういう訳なんで、どうしても解く必要があるなら3次方程式の解の公式を使うのが得策でしょうね。

(参考)
No.1397713　x^3-x^2-6=0の解
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1397713
高次方程式の解の公式
http://www.imasy.or.jp/~yotti/equation.html

参考URL：http://www.imasy.or.jp/~yotti/equation.html, http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1397713

この回答へのお礼

laundryload様、ご丁寧な回答をどうもありがとうございます！☆

問題の提起ミスでは無いので、やっぱり解くとすると公式を使わなければならないんですねぇ(~~)
代数体の演習で、このような方程式が出てきまして、この解を用いて答えを出すような問題だったんですよ★なので、てっきりさらっと解けるもんだと思いこんでしまっていました(^^;
ですが、公式を用いて解かなければならないようなら、解を何か文字で(例えばα)おいて、答えを導けばいいかな～(笑)と思いました★☆

本当に大変良いアドバイスをどうもありがとうございました(^^)

お礼日時：2005/05/28 10:56

No.2 回答者： ethic 回答日時： 2005/05/27 14:43

高校のレベルでは解けません。

f(x)=x^3+10x+50
とおいて、xに±(50の約数)を代入してf(x)が0にならなければ
高校ではお手上げです。

ちなみに、f'(x)=3x^2+10≧0なのでf(x)は単調増加で、
実数解は-3と-2の間に1つだけあることがわかります。

この回答へのお礼

ご回答どうもありがとうございます！！☆

やっぱり高校レベルでは無理なんですねぇ…(^^;
代数体の勉強をしている時に出てきた方程式なのですが、「これを解いて…」という風に書いてあったのでてっきりさらっと解けるものだと思い込んでしまっていました。。変な質問をしてしまってすみません(>0<)

本当にご丁寧にどうもありがとうございました☆
とても参考になりました(^^)

お礼日時：2005/05/28 10:47

No.1 回答者： laundryload 回答日時： 2005/05/27 14:29

問題の転記でミスしてませんか？

あるいは出題ミスか。
この式だと結果は3乗根、i、分数の入り混じった、ちょっと複雑な形の解になりますよ。